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《历年考研数学真题及解析 1996年研究生入学考试数学二》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1996年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析一、填空题2x3⎛⎞−（1）设yxe=+⎜⎟2，则y'
2、=.x=0⎝⎠1【答】.32xx3⎛⎞−−⎡⎛⎞1⎤【详解】yxe=+⎜⎟22⋅+⋅−⎢⎥1e⎜⎟，⎝⎠⎣⎝⎠2⎦'1所以y
3、=.x=0312（2）∫(x+−1xdx)=.−1【答】2.【详解】12∫(xx+−1)dx−11222=+−∫(x21xxx+1−)dx−1112=−∫∫21xxdx+dx−−11=+=022'''(3)微分方程yyy++=250的通解为.−x【答】yeC=+()cos2xCsin2x.122【
4、详解】特征方程λλ++=250的解为λ=−±12i，所以通解为−xyeC=+(cos2xCsin2x)12⎡⎤⎛⎞31⎛⎞（4）limx⎢⎥sinln1⎜⎟+−+sinln1⎜⎟=.x→∞⎣⎦⎝⎠xx⎝⎠【答】2.【详解】方法一：1令=t,则由洛必达法则知x原式＝sinln13()+−ttsinln1()+limt→0t⎡⎤31=+limcosln13⎢⎥()tt⋅−cosln1()+⋅t→0⎣⎦13++tt1⎛⎞31=−lim⎜⎟t→0⎝⎠131++tt=2方法二：直接利用三角函数和差化积公式.原式＝31+xln1⎛⎞13⎛⎞1+l
5、n1⎜⎟++⎜⎟1x⎝⎠xx⎝⎠lim2sinxcosx→∞22⎛⎞2ln⎜⎟+⎝⎠x+11==lim2sinxxlim2⋅sinxx→∞21→∞x+=21（5）由曲线yx=+,2x=及y=2所围图形的面积S=.x1【答】ln2−.22⎡⎤⎛⎞11⎛2⎞21【详解】Sxd=+∫⎢⎥⎜⎟−=+2lxxx⎜n−=−2x⎟
6、ln21⎣⎦⎝⎠x⎝22⎠1二、选择题x22（1）设当x→0时，ea−++()xbx1是比x高阶的无穷小，则1（A）ab==,1.（B）ab=1,=121（C）ab=−,1=−（D）ab=−=1,12【】【答】应选（A）
7、【详解】方法一：由于x→0时，x122exx=++1+o()x2⎛⎞122x2()1−+−+bx⎜⎟axox()ea−++()xbx1⎝⎠2则由lim=lim22xx→→00xx=01必有10−=ba,0−=21解得ab==,1.2方法二：eax−++()xb2x1eax−2xb−lim=lim,因xx→→00xx22x又lim2x=0,lim(ea−−=2xbb)1−x→0x→0必有b=1,从而xxea−−22xbea−原式＝lim==lim12−a=0,xx→→0022x1所以a=.22（2）设函数f()x在区间()−δ,δ内有定
8、义，若当x∈−(δ,δ)时，恒有f()xx≤，则x=0必是f()x（A）间断点.（B）连续而不可导的点''(C)可导的点，且f(00)=（D）可导的点，f()00≠【】【答】应选（C）.【详解】由定义fxf()−(0)fx()fx()lim==⋅limlimx=0，2xx→→00xxx→0x由题设必有f(00)='因此f()00=（3）设f()x处处可导，则'（A）当limfx()=−∞,必有limfx()=−∞,x→−∞x→−∞'（B）当limfx()=−∞,，必有limfx()=−∞,x→−∞x→−∞'（C）当limfx()=+∞
9、,必有limfx()=+∞,x→+∞x→+∞'（D）当limfx()=+∞,，必有limfx()=+∞,x→+∞x→+∞【】【答】应选（D）.【详解】方法一：利用举反例排除不正确选项.''令f()xx=,则limfx()=±∞,但fx()=1，可见（A）、（C）均不正确.x→±∞因而只有（D）是正确选项.方法二：''若limfx()=+∞,则存在M>0及x>0，当x>x时，f(xM)>00x→+∞于是当x>x时，有0'f()xfxf−=−()()(ξxxMxx)>−()000从而有fxfxMxx()>+−()00()→+∞(x→+∞)
10、11（4）在区间()−∞+∞,内，方程xx42+−=cosx0（A）无实根.（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根【】【答】应选（C）11【详解】令f()xxx=+−42cos,x由于f()()−=xfx，故f()x为偶函数，因此只需考虑fx()=0在()0,+∞内的实根情况.当x≥0时，11f()xxx=+−42cos,x3111−−'42f()xxxx=++sin42⎛⎞π'⎛⎞π⎛⎞π可见，当x∈⎜⎟0,时，f()xf>0,(x)在⎜⎟0,内单调增加，且f(01)=−，f⎜⎟>1，⎝⎠2⎝⎠2⎝⎠2⎛⎞
11、π因此fx()=0在⎜⎟0,上有唯一实根；⎝⎠2π当x≥时，fx()>0，故在()0,+∞上f(x)仅存在唯一实根2根据f()x关于y轴对称的性质，fx()=0在(−∞+∞,)上有且仅有两个实根.（5）设f()()xgx
