历年考研数学真题及解析1997年研究生入学考试数学三.pdf

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1、1997年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析一、填空题fx()（1）设yfxe=()ln其中f可微，则dy=_________________.fx()⎡⎤1【答】efx′′()()()ln+fxflnxdx⎢⎥⎣⎦x【详解】fx()fx()fx()dy==df⎡⎤⎣⎦()lnxe⎡⎤⎣⎦df()lnx⋅e+f()lnxde⎡⎤1fx()fx()=⋅⎢⎥f′′()lnxdxe+f()lnxe⋅fxdx()⎣⎦x⎡⎤1fx()fx()ln=⋅⎢⎥f′′()xdxe+f()lnxe⋅fxdx()⎣⎦x1112（2）若f()xx=+1,−f()xdx则f()xdx=___

2、____________.1+x2∫0∫0π【答】4−π1【详解】设∫f()xdxA=,0则111dx2A==+fxdx()A⋅1−xdx∫∫∫0001+x211A2ππ=+arctanx⋅+(arcsinxx1−x)=+A00244π故A=.4−πt（3）差分方程yyt−=2的通解为y=____________.tt+1tt【答】Ct+−()22【详解】齐次差分方程yy−=0的通解为CC.为任意常数tt+1tt设()atb+2是差分方程yyt−=2的一个特解，则ab=1,=−2.因此tt+1tyCtt=+−()22为所求通解.222（4）若二次型f()xxxxxxx,,=+++2

3、2xt+xx是正定的，则t的取值范围1231231223是_______.【答】−<<22t【详解】f正定的充分必要条件是f对应矩阵的各阶顺序主子式大于零，因此210t11>0,2t012解得−<<22t2（5）设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,3)，而X,,?X和YY,,?1919X+?+X19分别式来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量U=服从__________22YY++?19分布，参数为_____________.【答】t,9XYii【详解】令XYi′′===,,1,2,?,9ii33则XN′′~0(),1,~0YN(),1,1i=,2,,?9ii2XX′′

4、=++19?XN′~0(),3,2YY′′=++Χ19?Y′~9()因此X′XXXX19++??19′′++X′3U====YYYY2222++??′′++Y′Y′19199由于X′2~0NY(),1,~9′Χ()3故Ut~9().二、选择题561cos−x2xx（1）设fx()==∫sintdtgx,()+,则当x→0时，f(x)是gx()的056()A低阶无穷小(B)高阶无穷小()C等阶无穷小(D)同阶但不等价的无穷小【】【答】应选(B)【详解】利用洛必达法则，有22fx()sinx⋅−sin1cos()sin1cos()−lim==limlim4534xx→→00gx()xx

5、++x→0xx4x2()1cos−4===limlim0.3434xx→→00xx++xx（2）若fxfx()()−=(−∞<<+x∞)，在(−∞,0)内fx′()>0,且fx′′()<0,则在()0,+∞内有()()Afx′′><0,fx′()0(Bfx)′′()>>0,fx′()0()()Cfx′′<0,fx′()><0(Dfx)′′()0,fx′()>0【】【答】应选(C)【详解】由f(−=xfx)(),得−=f′′′()xfxfxfx(),′′(−)=()可见当x∈+()0,∞时，−∈−∞x(),0，且fx′′′()=−fx()−<0,fxfx′′()=(−<)0所以应选(

6、)C.（2）设向量α,,αα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是123()Aα122331++−ααααα,,()Bα1223123++++αααααα,,2()Cα1223+++2,23,3ααααα31()Dα12312++αααα,2−+322,3ααα−α3123+55【】【答】应选(C)【详解】()(A:0αααααα12+−++−=)(23)(31)()(B:2αααα−ααα12+)(−+23)(123++=)0可见()()AB、中向量组线性相关，(CD)、()不能直接观察出，对于(C)，令kkk11()αα++2222()αα2+++=3303331(αα)即()

7、kk131+++++=ααα(22kk122)(33kk233)0由于α,,αα线性无关，故123⎧kk+=013⎪⎨220kk+=12⎪⎩330kk+=23101因上述齐次线性方程组的系数行列式220120,=≠，故方程组由惟一零解，即033kkk===0，故()C中向量组线性无关，应选(C).123（4）设A,B为同阶可逆矩阵，则()AAB=BA−1()B存在可逆矩阵P，使PAP=BT()C存在可逆矩阵C，使CAC=B()D存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B【】【答