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《历年考研数学真题及解析 1998年研究生入学考试数学一》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1998年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题112++−−xx（1）lim=.2x→0x1【答】−.4【详解1】用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换，2()114++−−xx原式=limx→02xxx()112++−+221(−−x1)122=lim因11−−−x~x2x→04x212−x21==lim−.2x→024x【详解2】采用洛必达法则，110−21+−xx2111−x−+x原式⎯⎯0→=limlimxx→→002x41xx−211−−+xx=limx→04x−110−021−+xx211⎯⎯→=lim−.x→0442注
2、：110−→→xx()可求出λ【详解3】采用()1+u的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当u→0时λλλ(−1)22()11+=uuu++λ+o()u,2!所以x→0时11⎛⎞2211+=++−xxx⎜⎟+o()x,28⎝⎠11⎛⎞2211−=−+−xxx⎜⎟+o()x,28⎝⎠于是112211211+−+−−+xxxxo()x−22828原式=lim2x→0x⎛⎞21ox()=−lim⎜⎟+2x→0⎜⎟4x⎝⎠1=−421∂z（2）设zf=+()xyyxϕ(+yf),,ϕ具有二阶连续导数，则=.x∂x∂y'''''【答】yf()(xy++++ϕϕx
3、y)y(xy).【详解】∂zy1''=−fxy()+fxyyxy()+ϕ(+),2∂xxx2∂z11''''''=−f()xyfx+(yy)(+fxy)()()+ϕϕxyyxy+++∂∂xyxx'''''=+yf(xy)()()ϕϕx+y++yxy22xy22（3）设l为椭圆+=1,其周长记为a,则î∫(234xyxyd++=)s.43l【答】12.a22xy22【详解】以l为方程+=1,即341xy+=2代入，得4322îî∫∫()234xyxyd++s=(21xyd+=22)sî∫xydsaa+=1212,lll其中第一个积分，由于l关于x轴对称，而xy关于
4、y为奇函数，于是î∫xyds＝0.l*（4）设A是n阶矩阵，A≠0,A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ,则2*()AE+必有特征值.2⎛⎞A【答】⎜⎟+1.⎝⎠λ【详解】设Ax=≠λxx()0,则−−111AAx=⇒xAAx=xx,0()≠λλ2A2⎛⎞A**即Ax=x,从而()Ax=⎜⎟x,λ⎝⎠λ2⎡⎤⎛⎞2A⎡⎤()AE*+=x⎢⎥+≠1,0xx,⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎠λ22⎛⎞A*可见()AE+必有特征值⎜⎟+1⎝⎠λ12（5）设平面区域D由曲线y=及直线yxxe=0,==1,所围成，二维随机变量()X,Y在x区域D上服从均匀分布，则(
5、)X,Y关于X的边缘概率密度在x=2处的值为.1【答】.4【详解】区域D的面积为221ee1Sd==xxdydx=2.D∫∫∫111x于是()X,Y的联合概率密度为⎧1⎪,,()xyD∈fxy(),=⎨2⎪⎩0,其他其关于x的边缘概率密度为1⎧112+∞⎪∫xdy=,1≤≤xefxXX()==∫fxd()y⎨022x−∞⎪⎩0,其他1故f()2=.X4二、选择题dx22（1）设f()x连续，则∫tfx()−tdt等于dx02222（A）xfx()(B)−xfx()（C）2xfx()（D）−2xfx()【】【答】应选（A）.22【详解】作变量代换uxt=−，则2d
6、dxx220⎡⎤11dtfx()−=−tdtfudu()=fudu()dx∫∫∫00dxx2⎢⎥22dx⎣⎦12=⋅fx()2x22=xfx()23（2）函数f()xxxxx=−−−()2不可导点的个数是（A）3.（B）2.（C）1.（D）0.【】【答】应选（B）.【详解】因为23fx()=−−−=−+()xx22xxx()(x1)xx(−+1)(x1),可见f()x在x=0,1处不可导，而在x=−1处是可导的，故f()x的不可导点的个数为2.yxH（3）已知函数yyx=()在任意点x处的增量Hy=+α,且当Hx→0时，α是Hx的高21+x阶无穷小，y()0=π
7、，则y()1等于ππ（A）2π.（B）π.（C）e4.（D）πe4【】【答】应选（D）.yxH【详解】由Hy=+α,，有21+xHyyα=+.2HHx1+xx'y令Hx→0，得y=，21+xarctanx解此微分方程并利用初始条件由y()0,=π得ye=ππarctanx4故yee()1.==ππ⎡⎤abc111⎢⎥x−aybzc333−−（4）设矩阵abc是满秩的，则直线==与直线⎢⎥222aabbcc−−−121212⎢⎥⎣⎦abc333x−−−aybzc111==aabbcc−−−232323（A）相交于一点.（B）重合.（C）平行但不重合.（C）异面.【
8、】【答】应选（A）.⎡⎤
