矩阵方程a1z+zb1=c_1的广义自反最佳逼近解的迭代算法

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1、数学杂志Vo1．34(2014)J．ofMath．(PRC)No．5矩阵方程1Z+ZB1=C1的广义自反最佳逼近解的迭代算法杨家稳，一，孙合明(1．滁州职业技术学院基础部，安徽滁州239000)(2．河海大学理学院，江苏南京210098)摘要：本文研究了Sylvester复矩阵方程A1Z+ZB1=C1的广义自反最佳逼近解．利用复合最速下降法，提出了一种的迭代算法．不论矩阵方程z+ZB=C是否相容，对于任给初始广义自反矩阵Z0，该算法都可以计算出其广义自反的最佳逼近解．最后，通过两个数值例子，验证了该

2、算法的可行性．关键词：Sylvester矩阵方程；Kronecker积；复合最速下降法；最佳逼近；广义白反矩阵MR(20101主题分类号：65F30中图分类号：O241．6文献标识码：A文章编号：0255．7797(2014)05．0968．091引言我们知道关于反射矩阵的白反矩阵或反白反矩阵在系统与控制理论、工程、科学计算和其他领域都有广泛的应用[1-3】．近年来，Sylvester复矩阵方程的自反和反自反解的研究非常活跃．Peng和Hu[4]给出方程A：B的自反和反自反解．文献[5]给出方程AH

3、XB=C的自反和反自反解．2009年，Xu和Li[6]研究了方程A=B的反问题的Hermitian自反解．文献[7】给出反Hermitian、广义反Hamiltonian矩阵的最佳逼近解，等等．上述文献都是考虑方程有解情况下的最佳逼近解，方程无解情况下的最佳逼近解目前研究很少．不论矩阵方程是否有解，我们利用复合最速下降法Is]fthehybridsteepestdescentmethod，HSDM)，求A1Z+ZB1=C】广义自反最佳逼近解．首先介绍本文中的符号．表示m×n阶复矩阵的集合，R表示m×

4、佗阶实矩阵的集合，日表示矩阵的共轭转置．表示单位矩阵，对于矩阵，B∈Cm，AB表示与B的Kronecker积，(A，B)=trace(B爿A)表示与B的内积．1lll表示矩阵A的Frobe—nius范数，lIAll=(A，)．Il表示向量OL=(X1，2，⋯)的2一范数，=、／／．若P=I且P日=P，则称矩阵P是广义反射矩阵．若A—PAQ，则称矩阵A为关于广义反射P，Q的广义自反矩阵．记c似(PjQ)={A∈CIPAQ=A)．定义矩阵A=(atf)∈C的拉伸算子为vec(A)=[011，021，⋯，

5、0m1，012，口22，⋯，0m2，⋯，01礼，02竹，⋯，amn]T．表示梯度算子，即Vf(a)=(，蕞，⋯，o／)T，其中=(，，⋯，)，H是希尔伯特空间，对于映射T：HH，所有关于的不动点的集合表示为Fix(T)：=x∈HIT(x)=)，表示到非空凸集K上的投影算子．收稿日期：2012．06．25接收日期：2012．09。14基金项目：安徽省教育厅自然科学基金资助(KJ2011B119)．作者简介：杨家稳(1972一)，男，安徽滁州，副教授，主要研究方向：优化算法No．5杨家稳等：矩阵方程A1

6、z+ZBI=CI的广义自反最佳逼近解的迭代算法本文考虑如下问题：问题I给定矩阵l、P1∈C，BI、Q1∈C，C∈C，求Z∈(P1，Q1)使得A1Z+ZB1一1ll=min(1．1)问题II设问题I的解集合为SE，给定Z∈(P1，Q1)，求2∈SE使得一zII=I1z—zI．(1．2)问题II是在SE里找一个与矩阵Z∈(Pl，Q1)最接近的矩阵．本文的结构如下：第2部分介绍问题I和问题II的一个迭代算法并证明该算法是收敛的；第3部分用两个数值例子来验证该算法的可行性；第4部分给出结论．2迭代算法本节首

7、先给出解决问题I、II的迭代算法，然后证明该算法收敛，最后研究如何计算到非空凸集上的投影．算法：步骤1输入矩阵CI∈C，Zo∈C和Z∈(P1，QI)．步骤2计算M=2＼wTw-~-NTNNTW_WTN：A+，Ⅳ=B+。T，TTTⅣ一Ⅳ+ⅣTⅣ)，*=，=real(z)，y=imag(z)，：=1．步骤3Xk一1=real(Zk一1)，一1：imag(Zk一1)，=M(vec(Xk_l，)一2(NTvecc(E)~，vec(Xk_l，)=pK{[vec(Xk-1)~-vV~(vec(Zk_1))，其中

8、==(vec()=(1一2)(vec())+2(vec(z))一步骤4若ll一Zk一1Il0，使lIT(x)一T(y)llIIx一成立