含分数逆幂的矩阵方程对称自反解的双迭代算法

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1、2015年6月高等学校计算数学学报第37卷第2期含分数逆幂的矩阵方程对称自反解的双迭代算法木宁倩芝张凯院(西北工业大学应用数学系，西安710072)DOUBLEITERATIVEALGORITHMFORSYMMETRICREFLEXIVESOLUTIONOFMATRIXEQUATIONWITHFRACTIONALINVERSEP0WERNingQianzhiZhangKaiyuan(DepartmentofAppliedMathematics，NorthwesternPolytechnicalU

2、niversity，Xi’an710072)AbstractInthispaper，numericalmethodsfortwo—variablematrixequationwithfractionalinversepowerarestudied．Weconvertthematrixequationintoahigh-orderDolynomialmatrixequationandproposeadoubleiterativealgorithmforcomputingthesymmetricre

3、flexivesolutionoftheconvertedmatrixequation·NⅧnericalexperimentsaregiventoshowtheeficiencyoftheproposediterativeKalgorthm‘Keywordsmatrixequationwithfractionalinversepower，symmetricreflex!iveev，solution，Newton，Smethod，modifiedconjugategradientmethod，d

4、oubleiterativealgorithm．AMS(2000)subjectclassifications49M15；65F10中图法分类号O241．7国家自然科学基金(11071196)收稿日期：2013—11-05．180·宁倩芝等：含分数逆幂的矩阵方程对称自反解的双迭代算法第2期1引言含分数逆幂的矩阵方程在控制理论、梯形网络和动态规划等领域中有重要的应用卜引．考虑有代表性的一类含分数逆幂的双变量矩阵方程A1X1B1+A2X2B2十E1xi／F1+E2X22／3F2一G，(1)其中A，B

5、，邑，，Xi，G∈Rnxn(：1，2)．替换方程(1)中的xl／为X1，xl／。为X2可得A1X~B1+A2翘B2+E1x7F1+E2Xy。F2=G．(2)近年来，人们对这种类型的非线性矩阵方程进行了许多研究，并建立了一些有效的算法．例如，LiJ等【]研究了方程—AHX—PA=Q唯一正定解的存在性问题，并给出了方程的扰动界和向后误差；PengZY和HasanovVI等[2j3]建立了求方程+H—A=Q正定解的不动点迭代算法，并讨论了算法的收敛性问题；YinXY等[]研究了方程一HA=Q唯一正定解

6、的存在性问题和扰动估计，并建立了求其唯一正定解的迭代算法；DuanXF等[】给出了方程一∑m1AHxS~A=Q唯一正定解的存在性定理，并构造了求解的多步定常迭代方法．设为对称正交矩阵，若X∈Rn×满足XT=X=X，则称为关于的对称自反矩阵．特别地，当=I时，为对称矩阵；当=J(次单位矩阵)时，x为双对称矩阵．记全体关于的对称自反矩阵的集合为Q9()．当x1∈Q9(P1)，x2∈ft9(P2)时，简记为(Xl，X2)∈Q．研究方程(2)对称自反解的双迭代算法，关键是如何转化涉及未知矩阵的求逆计算问

7、题．本文首先对方程(2)中的逆矩阵采用矩阵幂级数方法进行等价转化，然后采用牛顿算法求对应的非线性矩阵方程的对称自反解，并采用修正共轭梯度法(MCG算法)求由牛顿法每一步迭代计算导出的线性矩阵方程(LME)的对称自反解或者对称自反最小二乘解(LS解)，建立求方程(2)的对称自反解的双迭代算法．至于方程(2)存在对称自反解的条件，尚需进一步探讨．文中采用的MCG算法不同于通常的共轭梯度法，它不要求涉及的线性代数方程组的系数矩阵对称正定、可逆或者列满秩，总是可行的．因此，本文建立的双迭代算法仅要求方程

8、(2)有对称自反解，不要求它的对称自反解唯一，也不要求由牛顿算法每一步迭代计算导出的LME有对称自反解．2015年6月高等学校计算数学学报181Xl12，求方程(2)、对称自反解的牛顿算法一＼，佃∑．一一一1引进以下记号，+一1=(：)，=()，y=()，y()=(：)，+佃∑一(y)(y1，)=Al(Y1X1+XlYI)B1十A2(Y~Xf十X2Y2X2+≥y2)口2一X一2+Elfy1F1一E2(xyY2Xy。+xyy2)．+当y1，接近于零矩阵时，可使和Y2的谱半径均小于1，由此导出一2(