§2.2 常微分方程在常点邻域的级数解法

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1、§2.2常微分方程在常点邻域的级数解法上一节利用分离变量法，将球坐标系和柱坐标系下的偏微分方程分别转化为几个常微分方程，但还有如下几个常微分方程的解并没有求得：1、连带勒让德方程2d⎡2dy()x⎤⎡()m⎤()⎢()1−x⎥+⎢ll+1−2⎥yx=0dx⎣dx⎦⎣1−x⎦2、勒让德方程d⎡()2dy()x⎤1−x+l()l+1y(x)=0⎢⎥dx⎣dx⎦3、m阶贝塞尔方程22dydy()22x+x+x−my=02dxdx4、m阶虚宗量贝塞尔方程22dydy()22x+x−x+my=02dxdx5、球贝塞尔方程d⎛2dR⎞[]22()⎜r⎟+kr−l

2、l+1R=0dr⎝dr⎠这些方程与我们在高等数学中所学习的常微分方程有很大区别，方程各项系数是变化的。一、常点邻域常微分方程的级数解法二阶线性齐次常微分方程的一般形式可写为2⎧dydy⎪+p()x+q()xy=02（1）⎨dxdx⎪y()x=cy'()x=c⎩0001其中，函数p()x,q(x)在x=x处是解析的，称此点为方程的常点。0解的存在性和唯一性定理：设函数p()()x,qx在圆域x−x

3、x−x

4、bc+bc=0⇒c=−30211011033⋅2c可以用c,c表示，所以c也可以用c,c表示。201301如此类推，c可用c,c表示。n01因为c,c可由方程（1）的条件确定，所以，最终c都将被确定。01n∞n故方程（1）通解y()x=∑cnx就可写出。n=0二、勒让德方程的级数解勒让德方程：d⎡2dy()x⎤()1−x+l()l+1y(x)=0（2）⎢⎥dx⎣dx⎦将勒让德方程展开22dydy()1−x−2x+l()l+1y=0（3）2dxdx1方程两边同乘以21−x2()dy2xdyll+1−+y=0（4）222dx1−xdx1−x方程（4）与方

5、程（1）二阶线性其次方程的一般形式相比较，容易得到2xl()l+1p()x=−,q()x=221−x1−xp()()x,qx在x=0处是解析的，所以x=0是l阶勒让德方程的常点。由解的存在性和唯一性定理可知，y(x)在x=0处也解析。∞n设y()x=∑cnx，代入方程（3）中，可得n=0∞∞∞()2()n−2n−1()n1−x∑nn−1cnx−2x∑ncnx+ll+1∑cnx=0n=0n=0n=0整理得∞∞∞∞()n−2()nn()n∑nn−1cnx−∑nn−1cnx−2∑ncnx+ll+1∑cnx=0n=0n=0n=0n=00x项系数l()l+12

6、⋅1c+l()l+1c=0⇒c=−c20202⋅11x项系数2−l(l+1)(1−l)(l+2)3⋅2c−2c+l()l+1c=0⇒c=c=c3113113⋅23⋅2nx项系数()n+2()n+1c−n()n−1c−2nc+l(l+1)c=0n+2nnn()n−l(n+l+1)⇒c=c（5）n+2()()nn+2n+1由上述通式可知，经过逐次递推，c(k=1,2,L)最终可用c表示，c()k=1,2,L最2k02k+1终可用c表示。即x的偶次幂项系数均可用c表示，而x的奇次幂项系数均可用c表示。101用2k代替（5）式中n+2，则n=2k−2()2k

7、−2−l()l+2k−1c=c2k()()2k−22k2k−1()2k−2−l()l+2k−1()2k−4−l()l+2k−3=c()()()()2k−42k2k−12k−22k−3()2k−2−l()l+2k−1()2k−4−l()l+2k−3()−l()l+1=Lc()()()()02k2k−12k−22k−32⋅1()2k−2−l()2k−4−lL(−l)⋅(l+1)(l+3)L()l+2k−1=L=c()02k!同理用2k+1代替（5）式中n+2，则n=2k−2()2k−1−l(l+2k)c=c2k+1()2k−12k+12k()2k−1−l

8、(l+2k)()2k−3−l()l+2k−2=c()()()2k−32k+12k2k−12k−2()2k−1