常微分方程的级数解法探析

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1、万方数据第39卷第17期2009年9月数学的实践与认识V01．39No．17MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORY，’’’’’’’’’’、l数学史i～·ltI‘lIll‘·，常微分方程的级数解法探源任瑞芳h2(1．山西财经大学，山西太原030006)(2．西北大学数学与科学史研究中心，西安西安710127)摘要：级数法是求解常微分方程最有效的方法之一．牛顿是第一位真正开始求解微分方程的数学家，级数法是其采用的第一种求解方法．在研读牛顿的微积分论文《流数法与无穷级数》基础上，探讨级数法形成的根源，揭示其思想方法对今日微分方程课

2、程教与学的启迪作用以及对创立和发展微分方程学科的重要理论意义．关键词：牛顿；微分方程；级数法1引言无穷级数是分析学的重要应用工具之一．所谓级数解法即要求微分方程具有级数形式的解．在求解常微分方程的诸多方法中，级数求解法是最有效的方法之一．牛顿几乎在发现微积分算法的同时就进行了微分方程求解，开辟了应用无穷级数求解常微分方程的先河，为微分方程的发展奠定了一定的理论基础．而今牛顿在二项定理、微积分、代数、几何以及数值分析等方面的研究已不少见[1七]，但系统研究他在微分方程方面贡献的工作还很少见，相关论述也大都包含在其微积分成果中‘3。4I，且多为简要性

3、介绍和通俗性叙述．莫利斯·克莱因在其四大卷《古今数学思想》中简单介绍了18世纪的级数法和19世纪级数解的发展状况口]，但没有提到级数法的来源．本文在研读牛顿的微积分论文《流数法与无穷级数》[61等的基础上，探讨级数法形成的根源，揭示其思想方法对今日微分方程课程教学的启迪作用以及对创立和发展微分方程学科的重要理论意义．1级数法的萌芽牛顿是第一位真正开始求解微分方程的数学家，级数法是其采用的第一种具体方法，因而级数解法的萌芽要追溯到牛顿对微积分的研究和二项定理的发现．他对微分和积分互逆关系的确定是微积分创立中最关键的一步，同时也是求解微分方程的第一步

4、；而对二项定理的研究促使牛顿获得了一系列函数的无穷级数表示，这些级数为其求解常微分方程提供了重要工具．牛顿之前，曾有几位数学家在其研究冲邂逅微分方程，如纳皮尔(J．Napier，1550—1617)收稿日期：2009—03—11基金项目：全国教育科学“十五”规划重点课题国家一般课题(BHA050023)万方数据17期任瑞芳：常微分方程的级数解法探源61在创立对数理论时，遇到了本质上属于Dy／y一一Dt的方程；伽利略(G．Galileo，1564—1642)在研究自由落体运动时，发现物体的加速度奎(f)是常数，实际上得到了微分方程x(t)一g；巴罗

5、(IsaacBarrow，1630—1677)在1669年出版的《几何讲义))(LectionesGeometricae)中求曲线切线的方法，蕴含了微分方程dy／dx—y／t，但由于他们没有明确微分和积分的互逆关系，因而皆没有真正求解过微分方程．1661年，牛顿进入剑桥大学三一学院，钻研巴罗、笛卡尔(Descartes，Ren6，1596—1650)和沃利斯(wallis，John，1616-1703)等人的著作，在酝酿微积分的同时萌生了求解微分方程的思想．1666年10月，牛顿完成《流数简论)>(TractonFluxious，简称《简论》)，

6、其中首次提出依赖于运动学的微积分基本问题[8]，并明确指出微分和积分的互逆关系．从某种意义上讲，求解微分方程是从方程的微分形式转化为相应的积分形式．牛顿对微分和积分互逆关系的确定奠定了求解微分方程普遍算法的理论基础．牛顿受沃利斯《无穷算术》(Arithmeticainfinitorum)中对数列插值表示圆面积无穷乘积方法的影响，另辟蹊径，对函数序列构成级数的系数插值，得到四分之一单位圆面积，并应用类比推理和逐项微分的方法得N---项定理[2]．牛顿计算双曲线Y一1／(1+z)的面积得到了对数级数和几何级数的表达式，还将正整数幂的二项展开推广到正负

7、有理数幂的情形，这一从有限到无限的飞跃为无穷级数的研究开辟了广阔前景．1669年，牛顿完成论文《运用无限多项方程的分析》(DeAnalysiperAequationesNumeroTerminorumInfinitas，简称《分析学》)，公布了其关于无穷级数的研究成果[5]．其中首先阐述了已发现的级数，接着用二项定理展开~／1—322得到反正弦级数的展式，还用反演法导出了指数级数、正弦级数及余弦级数的表达式，并处理了形如(1+z)3／2型的函数，这些函数的无穷级数表示为其开创微分方程的级数解法提供了强有力的保障．牛顿在1671年完成的论文《流数法

8、与无穷级数》(MethodusFluxionumetSerierumInfinitarum，简称《流数法》)中，将《流数简论》中提出的两