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《04线性方程组(工程数学)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章线性方程组的解法1n阶线性方程组Ax=b。方程的个数和未知量的个数相等的线性方程组⎧axax++⋅⋅⋅+=axb1111221nn1⎪⎪axax++⋅⋅⋅+axb=2112222nn2⎨（1）⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪axax++⋅⋅⋅+axb=⎩nn1122nnnn2一、消元法(高斯消元法、列主元消元法)1.高斯消元法高斯消元法的基本思想是通过对线性方程组Ax=b的进行同解消元变换（也可以用矩阵的初等行变换法进行线性方程组的消元变换），将线性方程组化为上三角形方程组，然后用回代法求出此线性方程组的。3⎧xxx−+=22−123⎪例1、解线性方程组：⎨−22xxx+−=
2、123⎪42xxx−+=−1⎩123第一个方程乘以2加于第二个方程，第一个方程乘以-4加于第三个方程，得：⎧xxx−+=22−123⎪⎨−xx+=3−223⎪3xx−6=7⎩234第二个方程乘以3加于第三个方程：⎧xxx−+=22−123⎪⎨−xx23+=32−⎪3x=1⎩3利用增广矩阵的初等行变换法表示为：⎡⎤112211221122−−−−−−⎡⎤⎡⎤[]Ab#=⎢⎥−−→2112⎢⎥−−132→⎢−−132⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦4121−−⎣⎦367⎣31⎦这一过程称为消去过程。51x=331x=+×=233，2311x=−+−×=232133称为回代过程．⎛⎞1⎜⎟3⎜⎟方程组的
3、解为：x=3。⎜⎟⎜⎟1⎜⎟⎝⎠36一般的方程组Axb=，利用增广矩阵的初等行变换法表示为：⎡()kkk()()()k⎤aaa""b111kn11⎡⎤aa"ab⎢⎥11121n1%##⎢⎥aa"ab⎢⎥21222n2→⎢()k()kk()⎥[]Ab#"=→⎢⎥"a"ab"""""kkknk⎢⎥⎢⎥#%#⎢⎥⎣⎦aa"ab⎢⎥nn12nnn⎢()k()kk()⎥a"ab⎣nknnn⎦⎡⎤()nnn()()()naaa""b111kn11⎢⎥%##⎢⎥()nn()()n→→"⎢⎥aa"bkkknk⎢⎥%#⎢⎥()nn()⎢⎥ab⎣⎦nnn7消元公式：⎧(0)===(0)aa,bbi(,j
4、1,2,...,)nijijii,⎪Fork1,2,...,=−n1⎪⎪()kk(1)−−(1)k⎨aal=−aijijikkj⎪()kk(1)−−(1)kbbl=−b⎪iiikk(1kk−−)(1)⎪⎩laai==;,jk+1,...,nikikkk回代公式：(1nn−−)(1)⎧xba=nnnn⎪n⎪⎛⎞(1iii−)(1−−)(1)⎨xbii=−⎜⎟∑axaijjii⎪⎝⎠ji=+1⎪inn=−−1,2,...,1⎩8利用高斯消元法进行消元时，消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为零。或等价地要求(k−)1(k−)1a≠0(k=,1",n)，若a=0（
5、k=1,..,n）,则消元法kkkk(k−)1过程无法进行；若虽然a≠0，但很小，用它作除数，会引起kk很大的误差。所以为了减小舍入误差、提高数值计算的稳定性，通常采用选主元的消元法（包括列主元消元法和全主元消元法），我们只介绍列主元消元法。92.列主元消元法列主元消元法的计算步骤：在进行第kk(=12,,,-"n1)步消元时，首先在第k列下面的nk-+1个元素中选取绝对值最大的元素(1kk−−)(1)(1k−)aapk,m即pk=ax{aik}作为列主元素，然后将列主元所ki≤在方程与第k个方程交换位置，再按照高斯消元法进行消元，回代计算没有区别。10⎧x1−x2+2x3=−2⎪⎪
6、例2用列主元消元法解线性方程组：⎨−2x1+x2−x3=2。⎪⎪4x−x+2x=−1⎩123消去过程⎡11224121−−−⎤⎡−⎤[]Ab#=−⎢2112−⎥⎢→−2112−⎥⎢⎥⎢⎥⎣4121−⎦⎣1122−−⎦⎡4121−−⎤⎡4121−−⎤→⎢05..015⎥→−⎢07515...−175⎥⎢⎥⎢⎥⎣−−07515...175⎦⎣05..015⎦⎡4121−−⎤→−⎢07515...−175⎥⎢⎥11311⎣⎦注：最后一个矩阵对应的方程就是上三角方程组：⎧4xxx−+=2−1123⎪⎨−+=075...xx15−17523⎪x=13⎩3回代过程：1x=33．−−17515..
7、x3x==32−075.T−+−12xx1⎛⎞1123所以，解为：x=⎜⎟3。x==1⎝⎠334312二、矩阵的三角分解1.再论消去法在例1中，第一步消去⎡11221122−−−−⎤⎡⎤[]Ab#=⎢−−→2112⎥⎢0132−−⎥⎢⎥⎢⎥⎣41210367−−⎦⎣⎦红字即是LU分解中L中的相应元素有两个乘数2和-4，每个乘数正好可以产生一个零，用来记-乘数，⎡⎤112211221122−−⎡⎤−−⎡⎤−−[]Ab#=−⎢⎥2112−→⎢⎥−22−132−
