工程数学第2章线性方程组.ppt

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1、第二章线性方程组一、一般线性方程组的基本概念二、消元法解一般线性方程组三、初等变换法解一般线性方程组在讲第一章行列式和矩阵时，作为行列式的应用，我们也讨论过如下形式的方程组的求解问题：如果线性方程组（1）的系数行列式

2、A

3、不为零，（1）则此方（参加教材44页定理7）程组有唯一解：克兰姆法则求下列方程组的解一般线性方程组研究一般线性方程组的求解问题是本章的核心！一、一般线性方程组的基本概念本章考虑如下形式的方程组：一般的线性方程组消元法1、引例求解线性方程组解(1)——消元法高斯顺序二、消元法解一般线性方程组解于是解得自由未知

4、量一般解（通解）阶梯形方程组于是解得自由未知量一般解（通解）参数形式的通解上述解方程组的方法称为消元法．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换1以不等于０的数乘某个方程2一个方程加上另一个方程的k倍3交换方程次序线性方程组的初等变换性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解．消元法就是反复地对方程组施行初等变换，使得方程组化简为阶梯形方程组。2．方程组的系数矩阵与增广矩阵系数矩阵A增广矩阵如增广矩阵系数矩阵再如方程组的增广矩阵和系数矩阵分别为（阶梯形方程组）（阶梯形矩阵）解方程组其实就等价于将增广

5、矩阵经过一系列初等行变换化成行阶梯形矩阵。方程组与增广矩阵是一一对应的。对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵做相应的变换．方程组的初等变换与矩阵的初等行变换一一对应。三、初等变换法解一般线性方程组于是解得自由未知量高斯顺序消元法求解方程组的步骤：3）写出相应于行最简形矩1）写出方程组的增广矩阵；2）用矩阵的初等行变换把增广矩阵化成行最简形；阵的方程组求解.1一般线性方程组的基本概念2消元法、矩阵法解一般线性方程组复习例1解下列方程组解：对方程组的增广矩阵作初等行变换从最后一行知，原方程组无解。例2解方程组解：若取x

6、2=c(任意常数),则方程组的全部解为于是得到与原方程组同解的阶梯形方程组例3解下列方程组练习　解方程组（1）（2）解：增广矩阵是（3）继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为进一步由第一行减去第二行的三倍，把第一行的适当倍数加到其它各行，得对应的线性方程组是把移到右边，作为自由未知数，得原方程组的一般解：若取x2=c1x4=c2(c1,c2为任意常数),则方程组的全部解为四、齐次线性方程组的解定理1在齐次线性方程组中，如果　，则它必有非零解。P831（1）（4）（5）作业在工程技术领域中，有许多问题的讨论往往在最后都归结为求线

7、性方程组解的问题。网络流问题：研究一些数量在网络中的流动问题。如，城市规划和交通工程人员监控一个网格状的市区道路的交通电气工程师计算流经电路的电流；经济学家分析通过流量；分销商和零售商网络的从制造商到顾客的产品销售．例如，右图给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交计算通流量（每小时车辆数目）．该网络的车流量．线性方程组的应用网络流问题：例如，右图给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量计算该网络（每小时车辆数目）．的车流量．一个网络包含一组称为接合点或并由称为分支的线或向在每个分支上有标示，流量(速度)也

8、有显示或用变量标记．网络流的基本假设：是全部流入网络的总流量等于全部流或节点的点集，或弧连接部分或全部的节点．流的方出网络的总流量，且流入一个节点的流量等于流出此节点的流量．流入等于流出由网络流量假设，得如下线方程组:网络流问题：例如，右图给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量计算该网络（每小时车辆数目）．的车流量．网络流的基本假设：流入等于流出在工程技术领域中，有许多问题的讨论往往在最后都归结为求线性方程组解的问题。剑桥减肥食谱问题：一种在20世纪80年代很流行的食是经过多年研究编制出来的．这是由AlanH.

9、Howard博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学完成的．配合谱，称为剑桥食谱，这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、维生素、矿物质、微量元素和电解质．为得到所希望的数量Howard博士在食谱中加入了多种食品．每种和比例的营养，食品供应了多种所需要的成分，然而没有按正确的比例．剑桥减肥食谱问题：上表是3种食物以及100克每种食物含有某些营养素的数量．营养每100克食物所含营养量（g）脱脂牛奶大豆粉乳清蛋白质365113碳水化合物523474脂肪071.1例如，脱脂牛奶是蛋

10、白质的主要来源但包含过多的钙，然而大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，然而乳清又含有过多的碳水化合物…因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少量的钙．因它含脂肪在这里我们把问题简化，看看这个问题小规模时的情形．较少，剑桥减肥食谱问题：下表是该食谱中的3种食物以及100克每种食物含有某些营