chap04-解线性方程组的迭代法

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1、第4章解Ax=b的迭代法4.1向量序列和矩阵序列的极限4.2Jacobi迭代法4.3Gauss-Seidel迭代法4.4松弛迭代法4.5迭代法的收敛条件和误差估计概述迭代法的优势:对高阶线性方程组，迭代法计算量比直接法小，容易控制误差。迭代法的基本思想:(1)由Ax=b转化为x=Bx+g非线性方程的迭代法：由f(x)=0转化为x=g(x)(2)任给初始向量x(0)，作迭代:x(m+1)=Bx(m)+g概述需解决的关键问题:(1)什么叫向量序列收敛？矩阵序列收敛？为迭代法的收敛性奠定理论基础(2)怎样建

2、立迭代公式?(方程组的同解变形)为迭代公式寻找途径(3)向量序列收敛的条件是什么?为判断“是否收敛”寻找到可行的方法(4)怎样估计误差?确定数值求解时什么时候终止4.1向量序列和矩阵序列的极限1.向量序列{x(m)}的极限4.1向量序列和矩阵序列的极限2.矩阵序列{A(m)}的极限4.2Jacobi迭代法4.2.1Jacobi迭代公式使用条件:Ax=b,

3、A

4、≠0,aii≠0建立迭代公式:(1)方程组的同解变形:由第k个方程解出xk.(2)取迭代初始向量:x(0)=0(3)迭代停止的条件:4.2Jac

5、obi迭代法4.2.2Jacobi迭代公式的矩阵形式(1)对A作矩阵分解:A=D-L-U其中D=(aii),L=(-aij)ji(2)对方程组Ax=b作等价变形:x=D-1(L+U)x+D-1b(3)记为:B1=D-1(L+U),g1=D-1b(4)得Jacobi迭代法的矩阵形式:x(m+1)=B1x(m)+g1b,x(0)=0,m=0,1,…4.2Jacobi迭代法4.2.3Jacobi迭代法的计算步骤4.2.4Jacobi迭代法的计算实例[例]用Jacobi迭代法解方程组

6、4.3Gauss-Seidel迭代法4.3.1迭代公式1.在Jacobi迭代公式基础上，立即用xk(m+1)(代替)xk(m),k=1,2,…,i-1去计算xi(m+1).2.迭代公式的方程组形式:4.3Gauss-Seidel迭代法4.3.2迭代公式的矩阵形式1.对矩阵A作分解:A=D-L-U2.可得:x(m+1)=D-1(Lx(m+1)+Ux(m)+b)3.记:B2=(D-L)-1U,g2=(D-L)-1b4.得矩阵形式的迭代公式:x(m+1)=B2x(m)+g24.3Gauss-Seidel

7、迭代法4.3.3迭代公式的计算步骤4.3.4迭代公式的计算实例[例]用Gauss-Seidel迭代法解方程组注:如果方程组的系数矩阵A是严格对角占优矩阵，则Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobi迭代法快.4.4松弛迭代法4.4.1迭代公式4.4松弛迭代法4.4.2迭代公式的矩阵形式4.4松弛迭代法4.4.3计算步骤4.4.4计算实例[例]分别用Jacobi法，Gauss-Seidel法，松弛迭代法求解Ax=b.4.4松弛迭代法补充示例:4.5迭代法的收敛条件/误差估计1.两个概念对角占

8、优矩阵弱对角占优,严格对角占优不可约矩阵经过行互换和列互换后，看是否存在“0子矩阵”[例1]P66页关于矩阵A非奇异的两个定理矩阵A严格对角占优A非奇异矩阵A不可约且弱对角占优A非奇异4.5迭代法的收敛条件/误差估计2.迭代法的收敛条件、误差估计收敛条件：迭代公式x(m+1)=Bx(m)+g收敛迭代矩阵B的谱半径p(B)<1回顾：谱半径的定义？误差估计公式：--------------(‖B‖<1)由迭代序列{x(m)}和理论解x*有：x(m+1)=Bx(m)+gx*=Bx*+g两式相减，两边

9、再取范数，整理可得。4.5迭代法的收敛条件/误差估计误差估计的实际计算公式（精度e）迭代次数的计算：4.5迭代法的收敛性[例2-例4]讨论Jacobi法,Gauss-Seidel法,松弛迭代法的收敛性.4.5迭代法的收敛条件/误差估计3.对特殊的系数矩阵A，迭代法的收敛条件定理6若A严格对角占优，则J法和G-S法均收敛。定理7若A不可约且弱对角占优，则J法和G-S法均收敛。定理8若A为实对称正定矩阵，则G-S法收敛。回顾：如何判定A是正定矩阵？定理10若A为实对称正定矩阵，则当0

10、收敛。作业P78-79页1,2,3,4,5,6补充练习题