电子科大-材料力学-第四章重点习题new

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1、4.1图示圆锥轴，长l，两端截面A和B的直径分别为d和d，材料剪切模量12为G，均布扭力矩集度为m，（1）画轴的扭矩图；（2）求截面B的扭转角；（3）设d=2d，从强度考虑，确定危险截面位置；（4）同样假设d=2d，确定最1212大单位长度扭转角θ的位置。xTmmlxBA+lx()a()b解：（1）设固定端支反力偶为MA，由平衡方程∑Mx=0得M=mlA以端截面A的形心O为x轴原点，在x截面处将轴截开，由左段平衡得x截面扭矩T为T(x)=M−mx=m(l−x)A扭矩图见图（b）（2）轴的截面直径是x的线性函数d−d21d(x)=d+x1l截面B的转角ϕ为BlTx()

2、16(dd12+2)2ϕ==dxmlB∫0GI()x3Gddπ32P12（3）轴任意截面最大切应力T(x)m(l−x)τ(x)==maxW(x)1d2−d13π(d+x)116ldτ(x)max由=0得dx2d−3dl12x=l=2(d−d)212此即危险截面位置。（4）单位长度扭转角θ为T(x)m(l−x)θ(x)==GIP(x)1d2−d14G⋅π(d−x)132ldθ(x)由=0得dx3d−4d212x=l=l3(d−d)312此即出现最大单位长度扭转角的位置。相关讨论：本题最大切应力和最大单位长度扭转角都不出现在端部，二者的位置也不重合，这是在其强度与刚度设

3、计中应注意的。4.2图（a）所示圆轴1和2长度分别为l和l，直径均为d，材料剪切模量均为12G，由凸缘及螺栓相连接。设两凸缘上螺栓孔存在角度为α的相位偏差，试分析安装后两轴的扭矩。αA12BAB()a()b解：设想取消B端约束，将螺栓孔对正，拧上螺栓，再将B端旋转到原位置并加上约束，可知变形协调条件为两轴扭转角之和等于α，两轴的扭矩均为T，即ϕ+ϕ=α（1）12将物理方程代入得TlTl12+=α（2）GIGIPP4GαIPGπαdT==（3）l+l32(l+l)1212相关讨论拉压与扭转问题的类比llMABMδ()c()dMFM合力F()e()f图（c）所示扭力偶，

4、可以根据右手螺旋的规则用矢量表示（见带双箭头的矢量）它表明了拉压与扭转问题在数学上的相似性。扭转静不定问题有时在力学上较难理解，可以通过类比的方法进行学习。如本题，对应的拉压静不定问题是图（d）所式的两杆配合问题，对应于方程（1）、（2）和（3），我们有∆l+∆l=δ12（4）FlFlN1N2+=δEAEA（5）EAδF=Nl+l12（6）其中∆l和∆l分别是两杆的轴向变形，EA是拉压刚度。12图（e）所示两端由刚性圆盘连接的受扭圆轴和圆筒，对应拉压问题如图（f）。对图（e）的问题，可以将圆筒和轴拆开，如图(g)，根据作用与反作用力关系及平衡条件，筒和轴上仅有一个未

5、知扭力矩T，可以用筒和轴总扭角相等的条件，即ϕ=ϕ求解。筒轴TMTMTT()g我们可以举出更多类似的例子。更扩大一点，力、电、光、磁、热等各种完全不同的自然现象之间，往往可以发现它们在支配微分方程或代数方程上惊人的一致。自觉去探索、理解和运用这些自然现象的本质联系，无论对揭示自然奥秘，还是对攻克科学、技术和工程难题，都有重要意义。4.3图a所示圆锥形薄壁轴AB，长l，壁厚δ，平均半径R(x)沿长度方向线性0变化，在两端截面分别为R和R。材料的切变模量为G，轴两端承受扭力矩MAB的作用。试证明下述薄壁圆管的近似公式：（1）任意截面扭转切应力MdϕMτ(x)=，单位长度

6、扭转角θ(x)==；（2）两端截面A，232πR(x)δdx2πGR(x)δ00MlRA+RBB的相对扭转角ϕ=。A/B224GπδRRABMMxBAxdxl()a()b证明：（1）圆轴的扭转切应力公式和单位长度的扭转角为T(x)dϕ(x)T(x)τ(x)=，θ(x)==（a）W(x)dxGI(x)PPδδ其中T(x)=M，轴的外半径R=R+，内半径r=R−，于是00022π144π44W(x)=[(2R)−(2r)]=[(2R+δ)−(2R−δ)]P00162Rδ32(R+)02π44I(x)=[(2R+δ)−(2R−δ)]（b）P0032由于δ相对于R很小（薄壁

7、轴），略去δ的高阶项，得023W(x)=2πR(x)δ，I(x)=2πR(x)δ（c）P0P0将式（c）代入式（a）得MMτ(x)=，θ(x)=（d）232πR(x)δ2πGR(x)δ00（2）由于R(x)沿长度方向线性变化，于是0R−RBAR(x)=R+x0A（e）llMldxMlRA+RBϕ=θ(x)dx==(f)A/B∫0∫0R−R222πGδ(R+BAx)34GπδRARBAl相关讨论式（d）是近似公式，与精确公式（a）、（b）比较，当δ≤R/20时，切应力0最大误差不超过2.38%，单位长度扭转角最大误差不超过0.06%；当δ≤R/10时，0切应力最大