电子科大-材料力学-第七章重点习题

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1、y7.1试用解析法求解图a所示平面应力微体n-n截面上的正应力σ和30MPann切应力τ，并求平行于z轴各截面n60MPaτ的最大正应力σ、最小正应力nmax80MPa30°xσmin、最大和最小切应力τmax和ασnτ，最大正应力所在截面方位角nminα。0(a)解：平面应力状态下斜截面应力公式为σ+σσσ−xyxyσ=+cos2ατ−sin2α（1）αx22σ−σxyτ=+sin2ατcos2α（2）αx2由图a知，σ=80MPa，σ=−30MPa，τ=−60MPa，α=−°150。xyx将这些数据代入式（1）和（2）得80(30)+−80(30)−−σ=+cos(300)(60)sin(

2、300)104.46−°−−−°=MPa（3）n2280(30)−−τ=−sin(300)°+(60)cos(300)−−°=17.63MPa（4）n2最大和最小正应力为σmax⎫σσxy+−σσxy22⎧106.39MPa⎬⎨=±()+τ=（5）xσ⎭22⎩−56.39MPamin最大和最小切应力为τmax⎫σσxy−22⎧81.39MPa⎬⎨=±()+τ=（6）xτ⎭2⎩−81.39MPamin最大正应力所在截面方位角α由下式确定02τxtan2α=−=1.09（7）0σσ−xy由此解得α=°23.7或α=113.7°（8）0102将式（8）两个解代入式（1）可知α是最大正应力所在截面方位

3、角。01α也可由下式确定0ττxxtanα=−=−=0.44（9）0σσ−−σσxmminaxyα=23.9°（10）0最大正应力及方位角见图b所示微体。相关讨论y1．应力及方位角符号：材料力学规定正应力以拉伸为正；切应力以企图使作用部分顺时针转动为正；方30MPa位角α以x轴为始边，逆时针转向终边为正，本题还可以取α=°210。2．最大正应力所在截面方位角：σmaxππ根据式（7），α在区间（−，）022α080MPax有两个解，一个对应于最大正应力，一个对应于最小正应力。具体那个解60MPa对应于最大正应力，需代入式（1）判定，或利用应力圆确定（见下题）。更简便地，也可由微体上x面切应力τ

4、方向确定，本题x面τ向上，则αxx0(b)从x轴逆时针转动（若τ向下，则αx0从x轴顺时针转动，读者可自行证明）。根据式（9），可以唯一确定最大正应力所在截面方位角。τ()MPaσ7.2用图解法求解7.1题。maxK解：画应力圆：在σ、τ直角E(30,60)−D'坐标系内，选定比例尺12cm=0MPa，与微体x截面对应的300°点位于D点（80，-60）（单位：MPa），Bα0与y截面对应的点位于E点（-30，2α0Aσ()MPa60）。连接DE交σ轴于C，以C为圆心，DE为直径作圆及得所求应力D(80,60)−圆。M比例尺：1cm=20MPa求7.1题图a中n-n截面上的应力，只需将半径CD

5、顺时针转(a)2150×°=°300，量得H点的应力为σ=105MPa，τ=17MPa。量得A点最大nn正应力σ=107MPa，B点最小正应力σ=−56MPa，K点和M点最大和最maxmin小切应力τ=82MPa、τ=−82MPa。最大正应力所在截面的方位角maxminα=°23.5。0相关讨论应力微体各截面上的应力值（σ，τ）与应力圆上的点具有对应关系。微αα体x面的应力值对应于应力圆上D点。一般位置截面的对应关系为转向相同、应力圆上转角加倍。应力圆上BD点的方向表示微体上最大正应力所在截面外法线方向。7.3平面应力状态下，物体内一点O在A、B两截面上的应力如图所示，试求该点的最大正应力和切

6、应力及A、B两截面的夹角θ。B40MPaθ20MPaAO15MPa15MPa(a)解：1）采用图解法，按比例尺11cm=0MPa画出应力圆。A、B两点分别表示A、B两截面的应力值，均在应力圆上，因此其中垂线与σ轴的交点C即为圆心，AC长度为半径，作出应力圆，如图（b）。最大正应力点在D点，量得其值σ=53MPa；最大切应力点在E点，量得其值maxατ=22MPa；A、B两截面的夹角θ==°36maxτ2EB(40,20)A(15,15)ασCD(b)2）采用解析法构造如图(c)微体，与A截面垂直的截面上的正应力设为σ；根据互等定理，x其切应力与A截面相等，大小也为15MPa，方向如图，即τ=−

7、15MPa；另外，x已知σ=15MPa。因此，可由B截面上的应力状态列出方程y⎧15+−σσ15xxσθ=+cos2(90)°−+°15sin2(90)4−θ=0MPa⎪B⎪22⎨σ−15⎪τθ=°xsin2(90)−−15cos2(90)2°−θ=0MPaB⎪⎩2y解得⎧σ=47MPax⎨⎩θ=°35.515MPa因此，可求得最大正应力和最大切应力为Bσσ+−σσxyxy22στ=+()+=52