电子科大电磁场与波第四章new

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1、第四章时变电磁场第一节波动方程波动方程：d在无外加源（即J=0，ρ=0）空间，麦克斯韦方程中消去一个hh变量（E或H）的方程→hdh∂Ed∂H麦克斯韦方程的限定形式：①∇×H=−ε②∇×E=−μ∂t∂tdd③∇⋅H=0④∇⋅E=0dd∂H∂d②两边取旋度：∇×∇×E=−∇×μ=−μ∇×H∂t∂tddd2d2h∂∂E而∇×∇×E=∇∇⋅E−∇E=−∇E=−μ(ε)∂t∂tddd∂2Eh2E的波动方程：∇E−με=0←该方程中不含H2∂tddd∂2Hh2同理，H的波动方程：∇H−με=0←该方程中不含E2∂t在直角坐标中222222∂Ex∂Ex∂E

2、x∂Ex∂Ex∇E−με=0或++−με=0x22222∂t∂x∂y∂z∂t22222∂E∂E∂E∂E∂E2yyyyy∇E−με=0或++−με=0y22222∂t∂x∂y∂z∂t22222∂E∂E∂E∂E∂E2zzzzz∇E−με=0或++−με=0z22222∂t∂x∂y∂z∂t第二节电磁场的位函数4.2.1矢量位和标量位dddd∂Ed∂B①∇×H=J+ε②∇×E=−∂t∂tddρ③∇⋅B=0④∇⋅E=εddd由③可以令B=∇×A,A称为电磁场的矢量位，或称矢量磁位ddd∂B∂dd∂A∇×E=−=−(∇×A)或∇×(E+)=0,由此，再令∂

3、t∂t∂tddd∂Ad∂AE+=−∇ϕ或E=−∇ϕ−，ϕ称为电磁场的标量位∂t∂tdA的单位是Wb/m（韦伯/米），ϕ的单位是V（伏）4.2.2达朗贝尔方程d推导A和ϕ的方程：ddB=∇×A←矢量位的定义dd∂AE+=−∇ϕ←标量位的定义∂tddρ∂Aρ由∇⋅E=→∇⋅(−∇ϕ−)=即ε∂tεd∂Aρ2∂dρ−∇⋅∇ϕ−∇⋅=或∇ϕ+∇⋅A=−∂tε∂tεddd∂Ed又由∇×H=J+ε，代入A，ϕ的定义，得∂tdd1dd∂∂A∇×H=∇×∇×A=J+ε(−∇ϕ−)即μ∂t∂tdddd∂ϕ∂2A2∇∇⋅A−∇A=μJ+με(−∇−)或2∂t∂td

4、d∂2Add∂ϕ⎫2∇A−με=−μJ+∇(∇⋅A+με)∂t2∂t⎪⎪⎬*∂dρ再加上∇2ϕ+∇⋅A=−⎪∂tε⎪⎭dd∂ϕ再规定A的散度：∇⋅A=−με←洛仑兹条件（规范）∂td∂ϕ∇∇⋅A=−με∇∂t将洛仑兹条件代入（*）式，即可得达朗贝尔方程dd∂2Add2∇A−με=−μJ←A的微分方程2∂t22∂ϕρ∇ϕ−με=−←ϕ的微分方程2∂tεdd⎧2∇A=−μJ⎪若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程⎨2ρ∇ϕ=−⎪⎩ε第三节电磁能量守恒定律坡印亭定理：电磁场中的能量守恒或功率守恒定理→dd1dd1dddd微分形式：−∇⋅(E×H)

5、=D⋅E+B⋅H+J⋅E22ddhd1dd1dddd积分形式：−∫S(E×H)⋅dS=∫V(D⋅E+B⋅H)dV+∫V(J⋅E)dVdt22ddh−∫(E×H)⋅dS←通过曲面S进入体积V的电磁功率，Sd1dd1dddd∫(D⋅E+B⋅H)dV+∫(J⋅E)dVdtV22V←单位时间内体积V中所增加的电磁能量，dd∫(J⋅E)dV←单位时间内电场对体积V中的电流所做的功V推导→假设：闭合面A包围体积V，V内无外加源，介质均匀各向同性，则ddddddddd∂Bd∂Ddd∇⋅(E×H)=H⋅∇×E−E⋅∇×H=−H⋅−E⋅−J⋅E∂t∂tddd∂B

6、dd∂D由∇×E=−,∇×H=J+，如果ε，μ不是时间的函数，则∂t∂tdddddd∂B∂Hd∂H1d∂Bd∂H∂1dd∂H⋅=μH⋅=B⋅=(H⋅+B⋅)=(B⋅H)=wm∂t∂t∂t2∂t∂t∂t2∂tdddddd∂Dd∂Ed∂E1d∂Dd∂E∂1dd∂E⋅=εE⋅=D⋅=(E⋅+D⋅)=(D⋅E)=we∂t∂t∂t2∂t∂t∂t2∂tdd2而J⋅E=σE=p是单位体积中变为焦耳热的功率，故Tdd∂dd∂∇⋅E×H=−(w+w)−p或−∇⋅E×H=(w+w)+pmeTmeT∂t∂t∂(w+w)：单位时间内，单位体积内电磁场能量的增加me∂t

7、p：单位体积内变为焦耳热的功率T上式两边取体积分，得dd∂−∇⋅E×HdV=(w+w)dV+pdV→∫V∫Vme∫VT∂t坡印亭定理：ddhdd−E×H⋅dS=(w+w)dV+pdV=(W+W)+P∫S∫Vme∫VTmeTdtdtddh∫E×H⋅dS表示功率通量，前面有负号表示进入V内的功率，因此，S物理意义：单位时间内，通过曲面S进入体积V的电磁能量等于体积V中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。能流矢量：单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位表面的能量，其方向为该点能量流动的方向坡印亭矢量（电磁能流密度矢量）：ddd22S=E×H(W/m

8、,瓦/米)←描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量dd瞬时功率：S=S(t),d1d平均功率：S=∫S(t)dtThS的大小等于通过垂直于能量传