数学物理方法第六章2010new

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1、第六章拉普拉斯变换6.2拉普拉斯变换ft()=0.(t<0)−σtgt()=eft()保证（－∞，∞）上绝对可积1∞−(σ+iω)tfp()G()ω=∫∫0fte()dt.p=σ+iω2π2π∞−pt−ptfp()=∫0fte()dt为从ft()到fp()的拉普拉斯变换，e为核∞itω1∞itω逆变换gt()=∫∫−∞G()ωedω=∫∫−∞f(σ+iω)edω2πσt1σ+∞iptft()=egt()=∫∫σ−∞ifpedp().i2πft()原函数fp()像函数实际上，原函数为ftHt()()fp()=L[()]ft1拉氏变换存在定理设函数

2、f(t)满足下列条件：1°当t＜0时，f(t)=0；2°f(t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；σt3°f(t)有有限指数增长。ft()

3、pt∞−σt∞−(σσ−)tM[()fte]dt≤ftte()dtσ中解析，且0

4、p

5、→∞时，一致趋于0；2°对于所有的Re()p=σ>σ0，沿直线Re()p=σ的无穷积分σ+∞ifpdp(),(>σσ)∫∫σ−∞i0收敛；1σ+∞ipt则对于Re()p=σ>σ0，fp()是ft()=∫∫σ−∞ifpedp()i2π的拉氏变换，其中t为实变量。3∞−pt1−pt∞1例

6、L[1]=1⋅edt=−e=Re()p>0∫∫00pp∞−pt1∞−pt1−pt∞1∞−pt1∞−pt1L[]t=tedt⋅=−tde⋅()=−[te⋅]+edt=edt=∫∫0p∫∫0p0p∫∫0p∫∫0p2st∞st−pt∞−(pst−)1−(pst−)∞1L[e]=e⋅edt=edt=−e=∫∫0∫∫00p−sp−sst∞st−pt∞−(pst−)1L[te]=te⋅edt=tedt=.Re()p>Res∫∫0∫∫0(p−s)2nstn!L[te]=n+1(p−s)dL[()]ftdfp()∞−ptL[()]tft=−=∫∫(−tfte)

7、()dt,dpdp0nnndL[()]ftL[tft()](1)=−dpn4(1)线性定理L[cft11()+cft22()]=cfp11()+cf22()pitω−itωe−e111ωL[sinωt]=L[]=[−]=222i2ipi−ωpi+ωp+ωpL[cosωt]=Re()p>022p+ω(2)导数定理L['()]ft=pL[()]ft−f(0)∞∞∞−pt−pt−pt∞−ptf'()tedt=edft()[=eft()]+peftdt()=pL[()]ft−f(0)∫∫0∫∫00∫∫02L[f′′()]t=pL[()]ft−pf(0)

8、−f'(0)t1(3)积分定理L[∫0ψτ()dτ]=L[()]ψtp1paty=∞(4)相似定理L[()]fat=f()←∫fate()−ptdt,aa0−λt(5)位移定理L[eft()]=fp(+λ)5−ptϕ()t(6)延迟定理L[(ft−t)]=e0fp()ϕ(t−tHt)(−t)000(7)卷积定理L[()ft∗ft()]=fp()⋅fp()0t0t1212tft()∗ft()=f()(τft−ττ)d卷积12∫∫120∞t−pte[f()(τft−ττ)ddt].τ∫∫∫∫12τ=t00∞∞−pt=[eft(−τ)]()dtfττ

9、d∫∫∫∫210τξ=−tτ∞∞−pξ−pτ=[ef()ξξde]f()ττd∫∫∫∫21000t=fp()⋅fp()6126.3拉普拉斯变换的反演32−1p+2p−9p+36A.利用已知公式求原函数(1)L[4]p−81B.查表32p+2p−9p+361111p13=⋅−⋅+−⋅222(p−3)(p+3)(p+9)2p−32p+3p+93p+932−1p+2p−9p+3613t1−3t1L[]=e−e+cos3t−sin3t4p−81223−pτ−pτ(2)−1e因子e由延迟定理处理，由查表L[]p−pτ−111−1e1L[]=L[]=pπt

10、pπ(t−τ)(3)利用位移定理pL[−1p+λ]=e−λtcosωtL[cosωt]=22p2+ω2(p+λ)+ω−λtL[eft()]=fp(+λ