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《2009-2010学年同济大学高等数学上期末试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学(上)期末考试试卷试题一、填空、选择题1．函数f(x)在[a,b]上可积是f(x)在[a,b]上连续的条件，函数f(x)在[a,b]上可导是f(x)在[a,b]上连续的条件．22．曲线yxx=+−ln(1)在点(2,ln(1+2))处的切线方程是．⎡π⎤3．函数f()(1)cosxx=−xx−sin在区间0,上的最大值是．⎢⎥⎣2⎦x24．曲线y=e(x−x)上有个拐点．25．设可导函数gx()满足g(0)=0，g′(0)≠0，设G(x)=g(sinx)，则当x→0时，．（A）Gx()与gx()是等价无穷小．（B）Gx()与gx()是同阶的无穷小．（C）Gx()是比gx()高
2、阶的无穷小．（D）Gx()是比gx()低阶的无穷小．12nnnn3+3+?+3v6．极限lim=．n→∞n437．如果一物体沿直线运动，物体的运动速度的变化曲线如图32所示（单位省略），则物体在这段位移过程中的平均速度1O为．16810t图3dyysin8．微分方程+=的通解为．dxxx二、⎛⎞ππ1．设函数yx=lnsec，x∈−⎜⎟,．⎝⎠22(1)讨论函数的单调区间与该函数的图形的凹凸性；(2)该曲线在哪点处的曲率半径为2？2x2⎧t∫edt⎪x2．设ϕ()x=⎨,x≠0,求a的值，使得ϕ(x)在x=0处连续，并用导数定义求ϕ′(0)．x⎪⎩a,x=0,三、π221．求定积分I
3、=∫x1−sinxdx．0⎧1,x≤0,⎪2⎪1+xx2．若f()x=⎨1对于x∈(,)−∞+∞，求F()x=∫−∞f()tdt．⎪,x>0,⎪⎩x()1+x四、11．设曲边梯形由曲线yx=+（x>0）与直线y=0，x=a，x=a+1所围成（其中a>0），x问：当a为何值时，曲边梯形的面积为最小，最小面积是多少？32．设一平板浸没在水中且垂直于水面(水的密度为1000kg/m)，y1（水面）22平板的形状为双曲四边形，即图形由双曲线44xy−=，直线y=1与y=−1所围成(如图4所示，单位：m)．Ox(1)如果平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的水的−1图4总压力是多少？(2
4、)如果水位下降，在时刻t，水面位于y=ht()处，且水面匀速下降，速率为0.01（m/s），问：当水面下降至平板的中位线(即x轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率是多少？五、设函数f()x满足方程x∫(u−x)f(u)du=f(x)+cos2x，0求f()x．参考答案一、1．必要，充分．2．y′
5、1=，因此所求切线是yx=−++2ln(12)．x=2π3．f′()xxx=−−(1)sin，在区间(0,)内有唯一驻点x=1且为极大值点，因此所求最大值2是f(1)=−sin1．x24．y′′=e(x+3x)有2个零点x=−3与x=0，且y′′在这2个零点的左、右两侧邻近异号，因此该曲
6、线上有2个拐点．2gxg(sin)−(0)22Gx()g(sinx)sin2xsinxg′(0)5．lim==limlim⋅=⋅0=0，xx→→00gx()gx()x→0gxg()−(0)xg′(0)x因此当x→0时，Gx()是比gx()高阶的无穷小，故选（C）．12n3n+3n+?+3n12x6．利用定积分的定义，得lim→∞=∫03dx=．nnln3110107．vv=∫()dtt，根据定积分的几何意义，其中的定积分∫vtt()d是图中的图形面101−111110118积，即vv==∫()dtt[⋅4(61)4(86)⋅−+⋅−+(24)(108)]+⋅−=．101−192231
7、1−∫∫ddxx⎛⎞sinx1−cosxC+8．通解为yx=+eexx⎜⎟∫∫dsC=()inxdx+C=．⎝⎠xxx二、⎛⎞π⎛⎞π⎛⎤π1．(1)y′=tanx，在⎜⎟−,0内，y′<0；在⎜⎟0,内，y′>0．故⎜−,0⎥是单调减少区间，⎝⎠2⎝⎠2⎝⎦2⎡⎞π2⎛⎞ππ⎢0,⎟是单调增加区间；而由yx′′=>∈sec0(x⎜⎟−,)得，该函数的图形是凹的．⎣⎠2⎝⎠22
8、
9、y′′1ππ(2)Kx==
10、cos
11、．由K=，得x=±，故曲率半径为2的点是(,±ln2)．322233(1+y′)2x2t22∫edt4xxx2e−e2．lim=lim=1，因此a=1时，ϕ(x)在x=0
12、处连续．x→0xx→012x2t∫xedt2x2−1tϕ(x)−ϕ(0)x∫xedt−xϕ′(0)=lim=lim=lim2x→0xx→0xx→0x22224xx4xx2e−e−116xe−2xe=lim=lim=0．x→02xx→02三、πππ22221．I=∫0x
13、cosx
14、dx=∫0xcosxdx−∫πxcosxdx2π222π=[]xsinx+2xcosx−2sinx−[]xsinx+2xcosx−2sinx0π22π=+2π−4．22．当x<0时
