第二章 等参单元

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1、第二章等参单元重庆交通大学机电与汽车工程学院隗寒冰等参单元概念等参单元基本概念工程实际中问题的边界通常很复杂，使用规则单元(如矩形或正六面体等)难于逼近几何形状不规则的原始边界(如曲边等)，只能采用不规则的单元(如任意直四边形、任意直六面体或曲四边形、曲六面体)。实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元；矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。重庆交通大学机电与汽车工程学院隗寒冰2等参单元概念等参单元基本概念问题：能否利用规则单元的结果来研究这些不规则单元的计算格式？思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)

2、的变形，由于正四边形（母元）的位移函数、单元刚度矩阵均已得到，则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。重庆交通大学机电与汽车工程学院隗寒冰3等参单元概念等参单元基本概念定义：以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数(相同形函数)，故称由此获得的单元为等参单元。借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。重庆交通大学机电与汽车工程学院隗寒冰4任意直边四边形任意六面体等参数单元实例重庆交通大学机电与汽车工程学

3、院隗寒冰5等参单元概念任意四边形单元位移模式对任意四边形采用矩形四边形单元位移模式η4(x3,y3)3(x4,y4)vuxyxy1234P(x,y)uξvxyxy5678y1(x1,y1)2(x2,y2)设24边直线方程为yAxB，代入上式2u(B)(ABx)Ax241323442v(B)(ABx)Ax24576788若24为两单元公共边界，则不能保证边界上的位移协调，即不能满足位移在单元边界上的协调条件。重庆交通大学机电与汽车工程学院隗寒冰6等参单元概念等参单元变换η=1

4、η3(x3,y3)η4(x4,y4)v4(-1,1)3(1,1)ξ=1P(x,y)uξξy1(x1,y1)2(x2,y2)1(-1,-1)η=-12(1,-1)ηtηζζξξyzx重庆交通大学机电与汽车工程学院隗寒冰7等参单元概念等参单元变换-平面四结点单元任意四边形单元称为实际单元。在实际单元内以对边的中点连线建立起一个局部坐标系，通过坐标转换把实际单元“映射”为正方形，此坐标系称为单元的自然坐标系或等参数坐标系，正方形称为基本单元或者母元，实际单元内任一点P(，)与基本单元内的一点P(x，y)唯一η=1对应。η3(x3,y3)η4(x4,y4)v4(-1,1

5、)3(1,1)ξ=1P(x,y)uξξy1(x1,y1)2(x2,y2)1(-1,-1)2(1,-1)η=-1(a)直角坐标系与母单元(b)自然坐标系与实际单元四结点等参单元重庆交通大学机电与汽车工程学院隗寒冰8等参变换平面四结点单元位移模式为了建立两者的关系，将局部坐标系附在任意四边形上，原点在单元中心，两坐标轴可不正交，但四个角点和边界限制在-1~1之间。设变换函数为：难以理解!x1234y5678利用任意四边形与母元的坐标值待定系数ii1,8，并将其整理为插值函数形式：1x[(1)(1)x(

6、1)(1)x124(1)(1)xx(1)(1)]341y[(1)(1)y(1)(1)y124(1)(1)yy(1)(1)]34重庆交通大学机电与汽车工程学院隗寒冰9等参变换平面四结点单元位移模式坐标变换式记为：44xNxiiyNyiiii1111NN(1)(1)(1)(1)124411NN(1)(1)(1)(1)3444将上述坐标变换式与正四边形单元的位移函数相比较，可知，函数形式和阶次完全相同，即任意四边形与正四边形的变换采用了与正四边形位移

7、函数相同的参数变换，故称这样的单元为等参单元。重庆交通大学机电与汽车工程学院隗寒冰10等参单元平面四结点单元位移模式：从坐标变换可知,等参单元位移与母单元间位移仅相差坐标变换式：x1x(,)N1(,)0N20N30N40(1)y(,)0N10N20N30N4y4u4uieNNi(2)vi1vi帮助记忆：采用了新坐标系下的形函数11等参单元概念任意四边形单元位对任意四边形采用矩形四边形单元位移模式x移模式x(,)N(,)0N0N0N01η4(x3,y3