复变函数的积分40604

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1、第二章复变函数的积分¤目录x1复积分的定义和简单性质2一曲线的方向.....................................2二复积分的定义...................................2三复积分的基本性质.................................4x2复积分的计算4一*用定义计算....................................4二曲线积分方法...................................5三参数方程法..............................

2、.......6x3Cauchy积分定理7一Cauchy积分定理.................................7二*Cauchy积分定理的证明.............................8三Cauchy积分定理的推论.............................10四复通区域的Cauchy积分定理..........................12x4Cauchy积分公式及其推论14一Cauchy积分公式.................................14二*无界区域的Cauchy积分公式........

3、..................16三解析函数的高阶导数...............................16四*Liouville定理...................................17五*代数基本定理...................................18¤°c1992{2003林琼桂本讲义是中山大学物理系学生学习“数学物理方法”课程的参考资料，由林琼桂编写制作．欢迎任何个人复制用于学习或教学参考，欢迎批评指正，但请勿用于出售．1x1复积分的定义和简单性质2本章的Cauchy积分定理是整个解析函数理论的基础．x1

4、复积分的定义和简单性质一曲线的方向本书提到的曲线一般都指光滑或逐段光滑的平面曲线．若一段曲线的方程为y=f(x)，则光滑指的是f0(x)连续．若其方程为参数方程x=x(t)、y=y(t)，则光滑指的是x0(t)和y0(t)连续．由有限条光滑曲线衔接而成的曲线称为逐段光滑曲线．折线就是最简单的逐段光滑曲线．曲线的方向定义如下．1.简单曲线：没有重点的曲线称为简单曲线．图1中的a是简单曲线，而b则不是．简单曲线的方向由起点指向终点．所以规定了起点和终点就确定了它的方向．2.围线（contour）：逐段光滑的简单闭曲线称为围线．图1中的c是简单闭曲线，而d则不是．如果沿着围线走

5、，其所包围的区域在左边，则该方向称为正方向，其实就是逆时针方向．二复积分的定义一元实变函数的积分定义在x轴上的有限区间内（无限区间的广义积分通过极限过程得到），而复变函数的积分（简称复积分）总是定义在曲线上，参看图2．定义（复积分）设函数f(z)沿曲线C：z=z(t)（®·t·¯）有定义，在C上沿参数增加的方向从a=z(®)到b=z(¯)取分点a=z0;z1;:::;zk¡1;zk;:::;zn¡1;zn=b将C分为n个弧段，在zk¡1至zk的弧段上任取一点³k，作和数XnSn=f(³k)¢zk;k=1其中¢zk=zk¡zk¡1．若n!1且maxj¢zkj!0时，Sn!I

6、，则称f(z)沿C可积，1·k·n并称I为f(z)沿C的积分，记作ZI=f(z)dz:CRC称为积分路径，沿相反方向的积分记作¡f(z)dz．C注以上定义中指定参数t增加的方向，这对于明确积分的方向是很重要的．因为当b=a，即C为围线时，仅仅说“从a到b”并不能确定方向．不过应该注意，当C为围线时，参数t增加的方向不一定是逆时针方向．比如，圆周z=z(t)=cost+isint（0·t·2¼），参数t增加的方向是逆时针方向，而圆周z=z(t)=cost¡isint（0·t·2¼），参数t增加的方向却是顺时针方向．今后，如果没有指明参数，也没有其它特别说明，则沿围线C积分总

7、是指逆时针方向的积分．x1复积分的定义和简单性质3abcd图1:a是简单曲线，而b不是；c是简单闭曲线，而d不是ybCzkzk-1axO图2:f(z)沿曲线C的积分以上积分的定义与实变函数积分的定义是很类似的．在数学上，定义一个概念，通常是因为它有用．复积分的用处很快就可以看到．事实上，关于解析函数的微分性质的证明大都要用到关于复积分的Cauchy定理．现在需要解决的问题是，给定函数和曲线，如何判断积分是否存在．与实变情况类似，我们有下述定理（积分存在）设函数f(z)=u(x;y)+iv(x;y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可