第六章时变电磁场new

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1、第六章时变电磁场在前几章中，我们讨论了静态场：由静止电荷产生的静电场和稳恒电流产生的静态磁场。即使没有静态磁场，静电场也可存在，反之亦然。这些场与时间无关。在这一章中，我们将关注随时间变化的电场和磁场，E(r,t)和B(r,t)。我们将证明时变的磁场将产生时变的电场。我们也将发现，时变的电场导致时变的磁场。这一章中，我们从法拉第电磁感应定律开始研究，并得出相应的麦克斯韦方程。我们将前面讨论过的时间无关的麦克斯韦方程组推广到完整的含时麦克斯韦方程组。我们也介绍随时间正弦变化的电磁场，它们属于时谐场。此外，我们还介绍电

2、磁场能量和洛伦兹力公式。在这一章介绍的知识是后面章节学习电磁场理论的基础。6-1法拉第电磁感应定律图6-1-1所示的是一闭合导线回路C，若有一磁通密度B，则通过由C包围的面积的磁通为ψ。若我们在回路C任选定用箭头表示方向，这样就由右手螺旋定则确定了面积矢量ds，因此我们也可得出通过面积s的磁通ψ。图6-1-1所示的磁通ψ是正向的。我们假定闭合回路中没有任何电源和其它的电动势源。BsC图6-1-1正向通过C的磁通法拉第通过大量实验发现，若通过C的磁通是恒量，即dψ/dt=0，则在C中没有任何电流；若通过C的磁通是变化

3、量，即dψ/dt≠0，则在C中产生了电流，也即在C中产生了电动势e。这一由变化的磁通产生的电流称为感应电流，相应的电动势称为感应电动势。用感应电动势e量化表示这一实验结果：dψe=−(6-1-1)dt上式既是法拉第电磁感应定律。负号是由愣次根据图6-1-1的方向关系引入的，称为愣次定律。即：C中的感应电流所产生的磁通(称为感应磁通)总是阻止原磁通的变化。Reviewquestions:1)WhatisFaraday’slawofinduction?2)WhatisLenz’law?Whatisitssignific

4、ance?1796-2麦克斯韦方程(法拉第定律)我们知道，在导体中，必须有电场才能维持导体中的电流。这使得我们可用感应电场Eind来描述导体中的感应电动势e，即e=Eidl�∫cind因由C包围的总磁通为：ψ=∫Bsids因此，式(6-1-1)可写成：dEidl=−Bsid�∫cind∫sdt若面s在空间是固定的，则对时间的导数仅是对时变磁场B。因此，上式可写成：∂BEidl=−ids�∫cind∫s∂t利用斯托克斯定理，我们可将线积分转变为由路径C所包围的面s的积分。即∂B(∇×E)dis=−ids∫sind∫s

5、∂t上式两边的积分是在同一个由C所包围的面积分。对于任意给定的面s，上式成立的条件是被积函数相等。即∂B∇×E=−ind∂t上式也是法拉第定律在静止介质中某一观察点的数学表达式。它是麦克斯韦方程组之一，称为麦克斯韦方程(法拉第定律)的微分形式。此说明，感应电场Eind是非保守场。在空间任一点，我们可将总电场写为保守场(静电场)Estatic和非保守场(感应电场)Eind的矢量和，即E=Estatic+Eind。由此得出∇×E=∇×(E+E)=∇×Estaticindind即∂B∇×E=−(6-2-1)∂t6-3位移

6、电流我们知道，任何矢量场的旋度的散度恒等于零。即∇∇×i(F)≡0(6-3-1)由式(5-3-4)及电流连续性方程，得180∂ρ∇∇×i(B)=µ∇iJ=−µ(6-3-2)00∂t在时变情况下，∂ρ/∂t≠0。因此，式(6-3-2)与式(6-3-1)矛盾。为解决这一矛盾，麦克斯韦认为式(5-3-4)所表示的安培定律并不完整，还应有另一“电流密度”。即式(5-3-4)应该是∇×B=µ(J+J)(6-3-3)0d式中Jd是必须的附加项。下面是如何求得Jd。取上式的散度，并利用方程∇iE=ρε/0得：∂ρ∂E∇∇×i(B

7、)=µ∇iJ+µ∇iJ=−µ+µ∇iJ=−µε∇i+µ∇iJ00d00d000d∂t∂t上式应恒等于零，因此得：∂EJ=ε(6-3-4)d0∂t麦克斯韦称新引入的电流密度Jd为位移电流密度。因此，我们有：∂E∇×B=µJ+µε(6-3-5)000∂t相应的积分形式为：∂Bsid=µJsid+µεEsid(6-3-6)�∫l0∫s00∫s∂t位移电流密度也可写成：∂DJ=(6-3-7)d∂t上式表明，位移电流的本质是电通密度的时间变化率。式(6-3-3)是麦克斯韦对安培定律的修正，它是麦克斯韦最重大贡献之一，由此导致

8、了统一的电磁场理论的发展。在图6-3-1中，一平行板电容器正以电流I充电，电流沿z轴方向。为简单，假定平行板为半径a的园盘，平行板间为真空，平行板间距很小。这样，平行板间的电场是均匀的并完全限定在平行板间。aaIIzIJdIz(a)平行板电容器(b)电容器截面图6-3-1正以I电流充电的平行板电容器电容器左右板上的电荷分别是q(t)和–q(t)，由例2-7-