第五章 时变电磁场3new

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1、5.5电磁场的能量传播定律（坡印亭定理）1rr1rr在静电场和恒定磁场中we=E⋅D;wm=B⋅H22在时变电磁场中，能量的体密度可作如下假设——实验已经证明该假设的正确性1rr1rrw=we+wm=E⋅D+B⋅H22⎛1212⎞在闭合区域V内，电磁场能量为W=∫wdV=∫⎜εE+μH⎟dVVV⎝22⎠rrrr∂W⎛r∂Er∂H⎞⎛r∂Dr∂B⎞=∫V⎜⎜εE⋅+μH⋅⎟⎟dV=∫V⎜⎜E⋅+H⋅⎟⎟dV∂t⎝∂t∂t⎠⎝∂t∂t⎠rrrrrrr∂Drrr∂B因为麦克斯韦方程E⋅()∇×H=E⋅J+E⋅,H⋅()∇×E=−H⋅∂t∂trrrrrr数

2、学变换公式∇⋅(E×H)=H⋅(∇×E)−E⋅(∇×H)rrr∂Dr∂B()rrrr得到E⋅+H⋅=−∇⋅E×H−E⋅J∂t∂t∂Wrrrr=−∫∇⋅(E×H)dV-∫E⋅JdV∂tVV∂Wrrrrr根据根据散度定理得到=−∫(E×H)⋅ds−∫E⋅JdV∂tsV2∂WrrrJ−=∫()E×H⋅ds+∫dV∂tsVγ2∂W∫()rrr∫J能量守恒定律(功率平衡)−=E×H⋅ds+dVsV∂tγ——坡印亭定理∂W体积V内电磁能量的增加率。∂trrr∫(E×H)⋅ds通过包围体积V的闭合面S向外传输的功率。s2J∫dV体积V内由于传导电流而损耗的热功率

3、。Vγ坡印亭矢量:电磁波的瞬时能流密度vrrS=E×H瓦/米2V表示单位时间内穿出与能流方向相垂直的单位面积上的能量。sWrrr⎧⎪S∫S⋅ds⎨rs⎪⎩s1）空中电磁波的能量传输vrrS=E×H瓦/米2电磁波中的电矢量E和磁矢量H与波的传播方向k构成右手螺旋,S上式表示S与电矢量E和磁矢量H也构成右手螺旋,所以,S与k同方向。电磁场能量总是伴随着电磁波向前传播的。rrvE×H=S2）电容器充电过程的能量传输iEHS电容器的放电过程？3）载流长直导线的能量传输电导率为γ，有均匀分布的恒定电流I。zrIrIJ=2eˆzE=eˆza2aππaγrI2I

4、ρH⋅2πρ=πρH=2eˆφ22πaπaErrrIII2ρ()ˆρ()S=E×H=−e=−eˆhHa2a2ρ2a4ρSπγ2π2πγrI2S=()−eˆρ=a2a3ρ2πγSrrI2I2h−S⋅ds=2ah==RI2∫πys2322πaγπaγxeφ侧面积加上eρ下圆截面积[例1]直流电源对电阻供电，电R流为I。将两根平行、近似为无a穷长的导线（电导率为γ，半径S为a）放大，如图所示。试分析导体内外的功率流密度。EEErrr2EIρS=E×H=(−eˆ)2π2a4γφHHHHHHE由长为l的导体表面（法向朝SS外）流入导体内的功率为2rrIρ1l

5、22−∫sS⋅ds=−24()()−eˆρ⋅2πal−eˆφ=⋅2⋅I=R'I2πaγγπa2rrJ2根据坡印亭定理和∂W/∂t=0得到∫sS⋅ds=−∫VdV=-R'Iγ由导体表面流入导体内的能量完全转化为导体电阻（R’）消耗的热能，即导体本身并不传输能量，电源对负载电阻（R）的供能是通过导体外的空间传输，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。RaSEEEEHHHHHHESS同一电流方向的导线，a引导的能流方向可能不一样。R[例2]直流电源U通过同轴电缆向负载电阻供电，电流为I，设导体的电导率γ，半径a；外导体半径b。填充绝缘介质电导率为0,磁导率为

6、μ。求（1）如0果γ=∞，求绝缘介质内任一点的的电场强度和磁场强度；（2）如果γ=∞，利用坡印亭矢量计算穿过同轴电缆横截面的功率；（3）如果γ≠∞，利用a坡印亭矢量计算流入内导体单位长度b的功率。IUrr仍有体电流[解]1)因为γ=∞所以内柱中Ei=J/γ=0假设内柱和外柱壳上分布的单位长度的电荷为±τ。根据高斯定律，求得内柱r与外柱壳间的电场强度为τEo=eˆρ2πε0ρS因为γ=∞，所以内柱和外柱壳分别aEo无电压，全部电压U加在电阻两端,则内导b体和柱壳任意横截面上的电压都为U。即HHbrrbττbU=∫E⋅dρ=∫dρ=lnaa2πε0ρ2

7、πε0arUrI所以Eo=()eˆρ而Ho=eˆφlnb/aρ2πρIrrrUI则S=E×H=eˆz22πρln()b/aUrrb2)穿过同轴电缆截面的功率：P=∫S⋅ds=∫S⋅2πρdρ=UIsarI3）如果γ≠∞，内柱中E=eˆzi2πaγ根据边界条件，内导体表面的电场强度的切向分量为rIESEa=eˆzγ≠∞Hi,otρ=2EπaγSrIH而此处的磁场强度为Hi,oρ=a=eˆφS2πarrrI2Sρ=a=Ei,otρ=a×Hi,oρ=a=23()−eˆn2πγaSEo流入内导体的功率γ=∞2HHrrIh2P'=∫S=ads=S=a⋅2πa

8、h==R'Isρρ2πaγ2IR’是导体的电阻IP'/h=（并非负载电阻）2πaγU【备注】此时内导体上有电压降，不能像上