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1、第一篇复变函数导论第1章复变函数和解析函数思考：复变函数和实变函数的区别和联系。实变函数：实变量的函数。例：x,y—实变量；f(x,y)—实变函数复变函数：复变量的函数，实变函数的推广。实数→实变量→实变函数复数→复变量→复变函数1.1复数（复数的定义，几何表示，运算规则）数的扩展：正数→负数→实数在实数范围内：方程2ax+bx+c=02当Δ=b−4ac<0时，没有实根。→扩大数域，引进复数一、复数的定义和基本概念21.定义：复数——形如z=x+iy的数（x,y为实数，i=−1，i：虚数单位）2.基本概念：x=ReZ（实部）y=ImZ（虚部）纯虚数，共轭复数（z，z*）,复数相等二、复数的表示
2、方法1.复平面(1)直角坐标表示：在坐标平面xoy上，用点(x,y)表示复数z=x+iy→平面上的点(x,y)与复数z=x+iy一一对应。全体复数布满整个平面——复平面（或z平面）定义：x轴——实轴，y轴——虚轴K从原点(0,0)出发指向点P(x,y)矢量op——复矢量。(2)极坐标表示：复平面上的点用极坐标(ρ,ϕ)表示⎧x=ρcosϕ⎨⇒=ziρ(cosϕϕ+sin)（ρ：z的模，ϕ：z的辐角）⎩y=ρsinϕ注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：ϕ=+ϕπ2(0kk=±,1...)0辐角主值：argz(0≤argz<2π)辐角：Azrg=argzkk+=2π(0,1...
3、)±iϕ利用欧拉公式：ei=+cosϕsinϕ，有iϕzie=+=ρ(cosϕϕsin)ρ2.复球面复数不仅可以用平面上的点表示，还可用球面上的点表示。方法：过复平面的坐标原点作一球面与复球面相切，过o作复平面的垂线交球面于N点（北极点），作射线NP交球面于P’点，交复平面于P点，可知P’与P对应，所以以o为圆心的圆L上的点与复球面纬线L’上的点相对应，圆L内部的点与L’下方的点对应。圆L的半径ρ→∞，L’趋向球顶缩成一点N→复平面的无限远处对应于球面上的一点N这样，复平面的无限远处看成一个“点”——无限远点。三、复数的运算规则由于实数是复数的特例，故在规定其运算方法时，既应使复数运算的法则适
4、用于实数特例时，能够和实数运算的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术运算的一般规律（如交换律，结合律等）。1.加法ZZZ=+=12（x+iy）+（x+iy）=(x+x)+i(y+y)11221212几何意义：z1，z2为复矢量。z=z1+z2遵守平行四边形法则。这样：Z1212+≥+ZZZ（两边之和不小于第三边）Z1212−≥−ZZZ（一边不小于两边之差）2.减法：ZZZ=12−=（x+iy）-（x+iy）=(x-x)+i(y-y)112212123.乘法:ZZZ=×=（x+iy）（x+iy）=(xx-yy)+i(xy+xy)⋅12112212121221ZZeeiiϕ12ϕϕei
5、()1+ϕ2×=ρρ=ρρ(模相乘,辐角相加)1212124.除法:Zx+iy（x+iy）（x-iy）(xx+yy)⋅xy-xyZ==111==11221212++i21122222Zx+iy（x+iy）（x-iy）⋅x+yx+y22222222222(分母有理化)Zeiϕ111ρρ1i()==eϕϕ12−iϕ2(模相除，辐角相减)Zeρρ2225.乘方:N个Z相乘nninϕZe=ρ可得棣摩弗公式:n(cosϕ+=+insin)ϕϕϕcosisinnnz=w6.开方:0niϕiϕ0令w=z0。设w=ρe，z0=ρ0e。已知ρ,ϕ，求：ρ,ϕ00ninϕiϕ0由ρe=ρ0e，有:⎧n=→=nρρ
6、ρρ00⎪⎨ϕ2kπ=+2→=0+()⎪nϕϕ0kπϕk：整数⎩nn即w的模ρ与z0的模一一对应.zw的辐角与0的辐角不是一一对应.仅有n个不同的值满足nw=z0即ϕ02kπi(+)w=nz=nenn(k=0,1,"n−1)ρ00设Z1=x+iy11Z2=（x+iy）22,则：以下的交换律、结合律、分配律成立Z+=+ZZZ(加法交换律)1221ZZZ=Z(乘法交换律)1221Z++=++()ZZZZZ()(加法结合律)123123Z()()ZZ=ZZZ(乘法结合律)123123()Z+=+ZZZZZZ(分配律)12313231.2复变函数 复变函数的极限与连续一、区域关于区域严格定义所涉及到的
7、概念：1．点a的ε邻域：以复数a为圆心，任意小的正实数ε为半径的一个开圆，即满足
8、z-a
9、<ε的点的集合。点a的无心邻域：0<
10、z-a
11、<ε（不包含a点）2．内点：若某点的ε邻域中所有的点属于D，则该点称为D的内点。3．边界点：若某点不属于D，但其ε邻域内含有属于D的点，则该点称为D的边界点。4．外点：若某点不属于D，且其ε邻域内不含有属于D的点，则该点称为D的外点。区域的严格定义：满足如下两个条
