数学分析中某些不等式的证明_郑叔雄

《数学分析中某些不等式的证明_郑叔雄》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1994年辽宁师范大学学报(自然科学版)1994第17卷第l期JournalofLiaoningNormalUniversity(NaturalSelenee)Vol.17附1数学分析中某些不等式的证明郑叔雄(盘锦师范专科学校盘锦124000)滴要本文利用数学分析技巧,探讨不等式的不同证法·,关键词不等式凸性中图分类号0122.3,,:、数学分析中不等式的应用占有重要的地位它与不少知识相联系诸如函数单调性凹凸性、微分积分中值定理、条件极值正定性、齐次性等等.证明方法极其广泛,技巧性也高,颇难对其结构作系统归纳.下面结合三个著名不等式,研究如何巧妙地利用数分知识.探讨其不同证法

2、.auea**,,,n例l(ehy)设和乙均为任意实数(k=12⋯)则鸭几a·。*’a。镇:b‘(习)(习)(习)血=Ik=证方法一利用三角不等式.~’一2由,_一一一坠些一一{,刘下共黑一只{全1两式相加根二或、丫暇十碗十’二十嵘/办l干醚千而+嵘{据三角不等式a*“b*“彩袄厂{}}{}l!)刁一2-);}}-万干二不二菩二不二二二不二共}+卜不共二不二干二弃二二二弃二共}}扛IL(了时十时+⋯+嵘){了衍十摊十’二十纵)』a**)“lb}习·时+峭十一+嵘了醉+瑞+⋯+嵘1a七b舌艺}1班+醚+一+醉a‘‘.艺lb1镇时+醚+⋯+嵘·了班+醋+⋯+酷几几a·。。2a*。

3、*2a名。镇}r镇若。笼)(艺)(习)(习)无=Ik=方法二利用二元二次型的正定原理.a疙x魔2a:2a七*x;b;,o簇艺(+b;)一(艺君)+(2习。)+(艺,)为x,y的正定二次型,故其判别式不能取正值.:收稿日期1993一06一20:,,,,.郑叔雄男1945年生毕业于清华大学现任副校长副教授:第1期郑叔雄数学分析中某些不等式的证明83a*·*2a(乙。)一(名,)(习“‘)镇0方法三利用条件极值确定法.a,,,.*0‘二,n首先假定>b>0(k12)a七*2a*“止2。。*(习)(习)丫k~1k=1「全因为二二二二二二二普一]2‘一‘万。:告L(公b若)」艺醒[(全

4、)」k=1b*.,入}}x、,k,,,n,x一1设)0一12⋯易知斌+端+⋯+芝为此作辅助函数一1z一。,(习.x,,x:,,x,,x,x:x,F(⋯大)一al+aZ+⋯+氏+人(对+对++嵘一1)令翌axl机a,久x,,=+2=0a::,=+2触=0一2斌,矍朴0一薪‘+豁+x+嵘一1一0.,:,,口1X一“将:,,g,一抓a2代入得-一瓦-一么豁x.*0)久-()。,。:aox:函数lx+2x++在口l口笼口2,。⋯。了武+端+一+。三了武+端+一+万了武十鑫+⋯十嵘取最大值a一;alx:+x:x二武十雌+⋯+若(内+⋯十仇-’。郭)t.了武+峭+⋯十三·,,‘’*’故柯

5、西不等式成立因为(习入b)成(习}入bl)所以在久热为任意实数时柯西不等式亦成立.、,:a,,例2设f()g()在「乙〕上连续求证::·22···2·JI门,()。()d!、{{,()d1{:。()d二令证方法一利用微分中值定理.:‘2·d·。2··。·d·2,()一,()()d,()(){:{;一[{:]F,‘2‘。2·d·,2·2·d·。·d·(,一,()(,+(),()2了(‘,。(‘),‘,‘,丁:{:一{:辽宁师范大学学报(自然科学版)第17卷‘,·。‘·’·,:f(,((,‘(,〕d)0衬:卜,,.F‘Fa尸尸aF,。,d(t))0()=0所以(乙)一()=(考)

6、(乙一))0不等式得证方法二利用积分中值定理.F‘Z·d。2·d·,··’,(f()()r()()d卜丁:可;一[丁:」,,a,F(t))0F()=0Fl“’‘F(b)一d-‘a,则F(a)一丁:F(古)(b一))0所以F(0,不等式得证.的)方法三利用函数的单调性.F(‘2·d·。2····令,一,(,()d,()。()d,,,{;{:一[丁{Fl(t))O所以尸(t)是单调增函数’,,,.卢abaFa()=0>(b))F()=0不等式得证方法.四利用定积分定义根据柯西不等式a、、’ab,。镇若笼(乙){艺)(艺)取加权平均值··_··。。2」,」。2{又考了(考)(咨)}

7、又考了(考)又考(考)-·}-一}簇不一石一万一万}乙鳍)乙一鳍乙鳍上式不等号两端取极限,则不一等式得证.一方法丑利用二重积分性质.“2、d、.“。2:d二“:。::’Z:。2,d:2,。2:dxd,、()()一,()()d一f()()d;+,()(){{厂{几粤吓粤吓J叮J砚匕Ja习乙口J乙日日·。·“““·,(,‘,f(,(,dd“且_、、_、、。__l邝二,_‘,x’g弋y’y,g又xdx“,U一万刀LJ戈一扒,J多D其中D={(x刁)l。镇x镇乙,。毛y镇己},不等式得证.,a*k,,,例3平均