大学物理竞赛-静电场习题

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1、大学物理练习册—真空中的静电场库仑定律7-1把总电荷电量为Q的同一种电荷分成两部分，一部分均匀分布在地球上，另一部分均匀分布在月球上，2422使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，已知地球的质量M＝5.98×l0kg，月球的质量m=7.34×l0kg。（1）求Q的最小值；（2）如果电荷分配与质量成正比，求Q的值。q1q2Mm1解：（1）设Q分成q1、q2两部分，根据题意有k=G，其中k=22rr4πε0GMmGMm即Q=q+q=+q。求极值，令Q'=0，得1−=01222qkqk22GMm13GMm13

2、14∴q==5.69×10C，q==5.69×10C，Q=q+q=1.14×10C2112kqk2MmGMm2GMm（2）Q=，qq=∴Mq=mqq=m12212qqkk122Gm12Mq21414解得q==6.32×10C，q==5.15×10C，∴Q=q+q=5.21×10C2112km7-2三个电量为–q的点电荷各放在边长为l的等边三角形的三个顶点上，电荷Q（Q＞0）放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q值应为多大？−q31qQ解：Q到顶点的距离为r=l，Q与-q的相互吸引力为F=，12

3、34πεr0lrl21qrQr两个-q间的相互排斥力为F=224πεl0−ql−q201q1qQ3据题意有2Fcos30=F，即2×cos300=，解得：Q=q21224πεl4πεr300电场强度7-3如图7-3所示，有一长l的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为+λ，则杆上距原点x处的线元dx对P点的点电荷q0的电场力为何？q0受的总电场力为何？（2）若电荷线密度λ=kx，k为正常数，求P点的电场强度。Oλq0解：（1）线元dx所带电量为dq=λdx，它对q0的电场力为laPx1q0dq1q0λ

4、dx图7-3dF==224πε0(l+a−x)4πε0(l+a−x)q0λldxq0λlq0受的总电场力F=∫=4πε00(l+a−x)24πε0a(l+a)q>0时，其方向水平向右；q<0时，其方向水平向左0025大学物理练习册—真空中的静电场（2）在x处取线元dx，其上的电量dq=λdx=kxdx，它在P点的电场强度为1dq1kxdxdE==P224πε0(l+a−x)4πε0(l+a−x)klxdxkla∴E==(+ln)方向沿x轴正向。P∫024πε0(l+a−x)4πε0al+a7-4一半径

5、为R的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q，下半段均匀带电量-q，如图7-4所示，求半圆中心处电场强度。解：建立如图所示的坐标系，由对称性可知，+q和-q在O点电场强度沿x轴的分量之和为零。取长为dl的线元，其上所带电量为q2q2q1dq++dq=λdl=dl=Rdθ=dθ，∴dE=方向如图+12πRπ4πεRπR0+2R1dqqdθy方向的分量dE=−cosθ=−cosθy222图7-44πε0R2πε0Rπvqvqv∴E=−2×∫2cosθdθj=−j2π2εR20π2εR2007-5一半径为R

6、的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度。解：沿半球面的对称轴建立x轴，坐标原点为球心O。在球面上取半径为r、宽为dl的环带，如图，其面积为RdS=2πrdl=2πr⋅Rdθ，所带电荷dq=σdS=σ⋅2πr⋅RdθrOx1xdqσRxrdθdq在O处产生的电场强度为，dE==334πε0(x2+r2)22ε0(x2+r2)2σQr=Rsinθ，x=Rcosθ∴dE=sinθcosθdθ2ε0πvσvσv因为球面上所有环带在O处产生的电场强度方向相同，∴E=∫2sinθcosθdθi=

7、i2ε04ε007-6一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为σ，平板中部有一半径为R的圆孔,如图7-6所示。求圆孔中心轴线上的场强分布。（提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理）解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为一个σ完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。Rvσv无穷大平板的电场为E=e1nP2ε0图7-626大学物理练习册—真空中的静电场vσxvv圆盘激发的电场为E=−(1−)e，其中e为平板外法线的单位矢量。2nn2εx2+R20vvvσxv圆孔中

8、心轴线上的电场强度为E=E+E=e12n2εx2+R20电通量v7-7电场强度为E的匀强电场，其方向与半径为R的半球面的对称轴平行，如图7-7所示，求通过该半球面的电场强度通量。解：作半径为R的平面S’与半球面S构成一个闭合曲面，由于该闭合曲面内无电荷，由高斯定理vvvvvvΦ=∫S+S'E⋅dS=∫SE⋅dS+∫SE'⋅dS=0vREvvvv22∴Φ=E⋅dS=−E⋅dS=−E⋅πRcosπ=πRES∫S∫S'图7-77-8一边长为a的立方体置于直角坐