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1、b平面、平面的基本性质及应用 一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种： （1）选不共线的三点 （2）选一条直线与直线外一点 （3）选两条相交直线 （4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法： 1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。 例1．已知a//b,A∈a,B∈b,C∈b. 求证：a,b及直线AB，AC共面。 思路（1）：由a//b可确定平面
2、α，再证ABα，ACα； 思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。 思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。 另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示： 写法（一）： 证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a,b∈b,c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线
3、ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。 写法（二）： 证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b,C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点， ∵A∈a,B∈b,C∈b,a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a,b，AB，AC共面。 关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。 例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。 分
4、析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。 已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C 求证：a,b,c,d共面。 分析由a//b可确定一个平面α；由b//c可确定一个平面β。因为α，β都经过两条相交的直线b和d,所以由推论2可知，α与β重合。（注意：α和β都经过的元素，还可有其它的选取办法，请同学们自己试一试）。 证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3） ∵b//c（已知）∴b,c确定一个
5、平面β（推论3） ∵A∈a,B∈b,∴A∈α,B∈α,∴直线ABα即dα（公理1） 同理可证：dβ,∴α，β都经过b和d， ∵b∩d=B∴α与β重合（推论2）。 三、证明三线共点，三点共线的方法 1．三线共点：证其中两条直线的交点在第三条直线上； 2．三点共线：证三点都是两平面的公共点。 例3：已知如图，α∩β=l,aα,bβ,a∩b=A.bb 求证：A∈l（或者a,b,l共点） 分析：只需证明A为α，β的公共点。 证明：∵a∩b=A,aα,bβ,∴A∈aα, A∈bβ,即A
6、为α，β的一个公共点， ∵l是α和β的交线，∴A∈l. 例4：如图，已知延长ΔABC三边，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F。 求证：D，E，F共线。 证明：∵ΔABC顶点不共线，∴A，B，C可确定平面β, ∵D∈α且D∈ABβ,∴D是α，β的公共点。 同理可证：E，F也是α，β的公共点， ∴D，E，F都在α，β支线上，即D，E，F共线。 典型例题 一．求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 已知:直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C。 求证
7、:直线AB、BC、CA共面。 证明:∵直线AB和AC相交于点A,∴直线AB和AC确定一个平面α(推论2). ∵B∈AB,C∈AC,∴BCα(公理1).因此直线AB、BC、CA都在平面α内,即它们共面. 说明:证明几条直线共面,就是要找到一个平面,使得它们都在这个平面内,关键是如何找到这个平面。也就是如何确定这个平面。(由公理3及它的三个推论我们知道确定平面有四种方法).当平面确定以后,再证明都在这个平面内,即完成了这个证明. 二.证明:如果一条直线和三条平行直线都相交,那么这四条直线在同
8、一平面内. 已知:直线a、b、c、l,a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:a、b、c、l共面。 证明:∵a∥b.∴a与b确定一个平面(推论3). ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α,∴直线AB,即lα. 也就是a、b、l共面于α。同法可证明b、c、l共面于β. 这就是说b、l既在平面α内又在平面β内. 而l∩b=B.由公理3的推论2可知α,β是同一个平面.∴a、b、c、l在同一平面内. 说明:当确定一个平面后,说明其余直线也在这个平面内发生困难后,往往
