《线性模型的扩展》doc版

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3、应的体系，包括基于最小二乘法原理和最大似然原理的一整套方法，也包括随机误差项违背基本假设的非线性问题的估计方法。一、模型变量的直接代换1、直接代换法的涵义直接代换法适用于变量之间关系虽然是非线性的，但被解释变量与参数之间关系却是线性的非线性模型。这时可以利用变量直接代换的方法将模型线性化。对于以下形式的非线性方程我们可以直接进行变量代换转换为线性方程：（4-1）（4-2）（4-3）（4-4）（4-5）我们可以分别令，，，，、，则上述几个模型就变换为：17（4-6）（4-7）（4-8）（4-9）（4-10）2、直接代换法一般步骤第一步，根据有关理论或变量之间的

4、散点图判断回归模型形式。第二步，根据模型本身特点对模型或数据进行变量变换，使变换后的模型或数据具有线性回归模型形式。第三步，对变换后的线性模型进行拟合，并进行回归检验。第四步，对检验符合要求的模型用原变量写出回归模型，并用于预测或控制，对检验不符合要求的模型重新拟合，直到符合要求为止。在以上的这几类模型形式中尤其应该指出的是双曲线模型（4-1），它是一条双曲线，常用于考察产量与平均固定成本、失业率与通货膨胀率之间的关系，由于该模型对X作倒数变换后转化为标准形式的线性回归模型，所以有时也称为倒数模型。3、实例表4-1给出了1985-2001年17年间，某国通货

5、膨胀率与失业率的统计数据。记失业率为X，通货膨胀率为Y，试利用回归分析方法确定两者之间的关系。表4-11985-2001年某国通货膨胀率与失业率之间的统计数据表单位：%年份198519861987198819891990199119921993失业率1.41.11.51.51.21.01.11.31.8通膨率1.88.58.44.54.36.98.05.03.6年份19941995199619971998199920002001-失业率1.91.51.41.82.11.51.31.4-通膨率2.62.64.23.63.74.84.34.6-解：菲利普斯曲线描

6、述了失业率与通货膨胀率之间的关系，该曲线是凸向原点的，而且随着失业率上升，通货膨胀率下降；失业率下降，通货膨胀率上升，这正是双曲线所具有的性质。上述问题是研究通货膨胀率与失业率之间的关系，所以可设模型为：17估计出参数，的结果。图4-1参数估计结果从图4-1所示的回归结果可以看到，用于检验变量之间线性关系是否显著的统计量F值为9.3854，其对应的概率为0.0078，在0.05的显著性水平下应拒绝原假设，即变量之间存在线性关系。但拟合优度R2只有0.38，拟合效果不太理想，需要进行调整。图4-2残差图从残差图（图4-2）中我们发现，有两个观测点的残差值特别大

7、，经检查是第一个观测点和第3个观测点，这意味着这两个观测点可能是异常点。把这两个观测去掉，重新拟合这一模型，得到结果如图4-3所示。可见，此时的F值为24.9955，对应的概率为0.000243，在0.05的显著性水平下通过检验。与没有剔除异常点之前相比，拟合优度和精度明显提高，说明剔除异常点后模型拟合较好。综上所述，建立的回归方程为：17图4-3参数估计结果二、模型变量的间接代换在某些经济问题中，经济变量之间的非线性关系，不能通过直接变量代换转化为线性形式，需要先通过方程形式的变形后再进行变量代换，转化为线性形式，这种代换方法称为间接代换法。进行变量间接代

8、换应用最广泛的模型就是指数模型与幂函数模型。1、指数