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时间:2019-03-05
《8.5二阶常系数线性微分方程new》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二、二阶常系数非齐次线性微分方程1、f(x)P(x)ex型m2、f(x)ex[P(x)coswx+P(x)sinwx]型ln方程y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和yY(x)+y*(x)首页上页返回下页结束铃1、f(x)P(x)ex型m结论二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qyP(x)exm有形如y*xkQ(x)exm的特解其中Q(x)是与P(
2、x)同次的多项式而k按不是特征mm方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2即(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根则y*Q(x)exm(2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根则y*xQ(x)exm(3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根则y*x2Q(x)exm首页上页返回下页结束铃例1求微分方程y2y3y3x+1的一个特解解齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30因为f(x)P(x)ex3x+10不是特征方程的根
3、m所以非齐次方程的特解应设为y*bx+b01把它代入所给方程得3bx2b3b3x+10011比较两端x同次幂的系数得b01b131因此所给方程的特解为y*x+3提示[b3bx+b3]2[bx+b]3[bx+b]2b3bx3b00101010012b3bx3b2b13b00101首页上页返回下页结束铃例2求微分方程y5y+6yxe2x的通解解齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r+60其根为r2r312因为f(x)P(x
4、)exxe2x2是特征方程的单根m所以非齐次方程的特解应设为y*x(bx+b)e2x01把它代入所给方程得2bx+2bbx001比较系数得b1b12x比较系数得b0b11故y*x(x1)e22提示2b10齐次方程2bb0y5y+6y0的通解为YCe2x+Ce3x0112首页上页返回下页结束铃例2求微分方程y5y+6yxe2x的通解解齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r+60其根为r2r312因为f(x)P(x)
5、exxe2x2是特征方程的单根m所以非齐次方程的特解应设为y*x(bx+b)e2x01把它代入所给方程得2bx+2bbx001比较系数得b1b12x比较系数得b0b11故y*x(x1)e22因此所给方程的通解为yCe2x+Ce3x1(x2+2x)e2x122首页上页返回下页结束铃二、f(x)ex[P(x)coswx+P(x)sinwx]型ln结论二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qyex[P(x)coswx+P(x)sinwx]ln有形如y*xkex[
6、R(1)(x)coswx+R(2)(x)sinwx]mm的特解其中R(1)(x)、R(2)(x)是m次多项式mmax{ln}而kmm按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1首页上页返回下页结束铃例3求微分方程y+yxcos2x的一个特解解齐次方程y+y0的特征方程为r2+10因为f(x)ex[P(x)coswx+P(x)sinwx]xcos2x+iw2i不是ln特征方程的根所以所给方程的特解应设为y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x把它代入所给方
7、程得(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x14比较两端同类项的系数得ab0c0d3914因此所给方程的特解为y*xcos2x+sin2x39首页上页返回下页结束铃x例4求微分方程的通解y+ye+cosx解相应齐次方程y+y02特征方程为r+10ri1,2其通解为Yccosx+csinx12由叠加原理知方程的特解由下面两个方程的特解相加得到xy+ye(1)y+ycosx(2)*x*对于(1)y1Ae对于(2)y2+xB(cosx
8、Csin)x***x原方程的特解yy+yAe+xB(cosxC+sin)x1211代入方程得A,B0,C221xyccosx+csinx+e+xx所求通解为12(sin)2首页上页返回下页结束铃
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