8.5二阶常系数线性微分方程new

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1、二、二阶常系数非齐次线性微分方程1、f(x)P(x)ex型m2、f(x)ex[P(x)coswx+P(x)sinwx]型ln方程y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和yY(x)+y*(x)首页上页返回下页结束铃1、f(x)P(x)ex型m结论二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qyP(x)exm有形如y*xkQ(x)exm的特解其中Q(x)是与P(

2、x)同次的多项式而k按不是特征mm方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2即(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根则y*Q(x)exm(2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根则y*xQ(x)exm(3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根则y*x2Q(x)exm首页上页返回下页结束铃例1求微分方程y2y3y3x+1的一个特解解齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30因为f(x)P(x)ex3x+10不是特征方程的根

3、m所以非齐次方程的特解应设为y*bx+b01把它代入所给方程得3bx2b3b3x+10011比较两端x同次幂的系数得b01b131因此所给方程的特解为y*x+3提示[b3bx+b3]2[bx+b]3[bx+b]2b3bx3b00101010012b3bx3b2b13b00101首页上页返回下页结束铃例2求微分方程y5y+6yxe2x的通解解齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r+60其根为r2r312因为f(x)P(x

4、)exxe2x2是特征方程的单根m所以非齐次方程的特解应设为y*x(bx+b)e2x01把它代入所给方程得2bx+2bbx001比较系数得b1b12x比较系数得b0b11故y*x(x1)e22提示2b10齐次方程2bb0y5y+6y0的通解为YCe2x+Ce3x0112首页上页返回下页结束铃例2求微分方程y5y+6yxe2x的通解解齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r+60其根为r2r312因为f(x)P(x)

5、exxe2x2是特征方程的单根m所以非齐次方程的特解应设为y*x(bx+b)e2x01把它代入所给方程得2bx+2bbx001比较系数得b1b12x比较系数得b0b11故y*x(x1)e22因此所给方程的通解为yCe2x+Ce3x1(x2+2x)e2x122首页上页返回下页结束铃二、f(x)ex[P(x)coswx+P(x)sinwx]型ln结论二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qyex[P(x)coswx+P(x)sinwx]ln有形如y*xkex[

6、R(1)(x)coswx+R(2)(x)sinwx]mm的特解其中R(1)(x)、R(2)(x)是m次多项式mmax{ln}而kmm按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1首页上页返回下页结束铃例3求微分方程y+yxcos2x的一个特解解齐次方程y+y0的特征方程为r2+10因为f(x)ex[P(x)coswx+P(x)sinwx]xcos2x+iw2i不是ln特征方程的根所以所给方程的特解应设为y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x把它代入所给方

7、程得(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x14比较两端同类项的系数得ab0c0d3914因此所给方程的特解为y*xcos2x+sin2x39首页上页返回下页结束铃x例4求微分方程的通解y+ye+cosx解相应齐次方程y+y02特征方程为r+10ri1,2其通解为Yccosx+csinx12由叠加原理知方程的特解由下面两个方程的特解相加得到xy+ye(1)y+ycosx(2)*x*对于(1)y1Ae对于(2)y2+xB(cosx

8、Csin)x***x原方程的特解yy+yAe+xB(cosxC+sin)x1211代入方程得A,B0,C221xyccosx+csinx+e+xx所求通解为12(sin)2首页上页返回下页结束铃