8.6 二阶常系数线性微分方程

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1、第8章微分方程与差分方程8.6二阶常系数线性微分方程习题解答1．求下列方程通解：⑴；【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程，由其特征方程得两相异实根和，即得方程的通解为。⑵；【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程，由其特征方程得两相异实根和，即得方程的通解为。⑶；【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程，由其特征方程得二重实根，即得方程的通解为。⑷。【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程，由其特征方程得一对共轭复根，即得方程的通解为。2．求方程满足初始条件，的特解。【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程，由其特征方程得一对共轭复根，即得方程的通解为，3第8章微分方程与差分方程8

2、.6二阶常系数线性微分方程习题解答求导得将初始条件，，，代入，得，再初始条件，，及代入的表达式，得，即为，于是，方程满足初始条件，的特解为。3．求方程的一个特解。【解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程，由于，考虑到这是常系数微分方程，且多项式函数的导数仍为多项式函数，因此，方程应有一个多项式函数的特解，其次数应不高于1次，因此可设方程有一个特解为，将代入方程，得，即为，由多项式相等条件得，，即得方程的一个特解为。4．求方程的通解。【解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程，由于，考虑到这是常系数微分方程，而多项式函数与指数函数之积的导数仍为同类型函数，因此可设方程有一个

3、特解为，其中为多项式函数，将代入方程，得，整理得，积分得，即得方程有一个特解为。3第8章微分方程与差分方程8.6二阶常系数线性微分方程习题解答5．求方程的通解。【解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程，⑴先求原方程的一个特解由于，考虑到这是常系数微分方程，而正、余弦函数的导数仍为同类型函数，因此可设方程有一个特解为，其中、为待定系数，将代入方程，得整理得，从而可有，，即得方程的一个特解为。⑵再求齐次方程的通解原方程对应的齐次方程的特征方程有二重根，知齐次方程的通解应为，其中、为任意常数。综上，得原方程的通解为。3