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时间:2018-07-30
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1、第8章微分方程与差分方程8.6二阶常系数线性微分方程习题解答1.求下列方程通解:⑴;【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程,由其特征方程得两相异实根和,即得方程的通解为。⑵;【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程,由其特征方程得两相异实根和,即得方程的通解为。⑶;【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程,由其特征方程得二重实根,即得方程的通解为。⑷。【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程,由其特征方程得一对共轭复根,即得方程的通解为。2.求方程满足初始条件,的特解。【解】这是二阶常系数齐次线性微分方程,由其特征方程得一对共轭复根,即得方程的通解为,3第8章微分方程与差分方程8
2、.6二阶常系数线性微分方程习题解答求导得将初始条件,,,代入,得,再初始条件,,及代入的表达式,得,即为,于是,方程满足初始条件,的特解为。3.求方程的一个特解。【解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程,由于,考虑到这是常系数微分方程,且多项式函数的导数仍为多项式函数,因此,方程应有一个多项式函数的特解,其次数应不高于1次,因此可设方程有一个特解为,将代入方程,得,即为,由多项式相等条件得,,即得方程的一个特解为。4.求方程的通解。【解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程,由于,考虑到这是常系数微分方程,而多项式函数与指数函数之积的导数仍为同类型函数,因此可设方程有一个
3、特解为,其中为多项式函数,将代入方程,得,整理得,积分得,即得方程有一个特解为。3第8章微分方程与差分方程8.6二阶常系数线性微分方程习题解答5.求方程的通解。【解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程,⑴先求原方程的一个特解由于,考虑到这是常系数微分方程,而正、余弦函数的导数仍为同类型函数,因此可设方程有一个特解为,其中、为待定系数,将代入方程,得整理得,从而可有,,即得方程的一个特解为。⑵再求齐次方程的通解原方程对应的齐次方程的特征方程有二重根,知齐次方程的通解应为,其中、为任意常数。综上,得原方程的通解为。3
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