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1、《高等代数与解析几何（下）》期末考试试卷（B卷）一．填空题：（每小题2分，共10分）1.线性变换σ的属于不同特征值的特征向量是.2.如果(3x−)
2、()fx,则f(3)=.3.实二次型正定的充分必要条件是它的矩阵A.4.在实数域上,不可约多项式有.5．在几何空间中,一个不含y的方程Fxz(,)0=表示的曲面是.二、单项选择题：（每小题2分,共10分）21.设方阵A满足AA=4,则A的特征值为().(A)0或1；(B)0或4；(C)1或4；(D)无法确定.2.在下列曲面中,()是直纹面.(A)椭球面；(B)椭
3、圆抛物面；(C)双叶双曲面；(D)双曲抛物面.11−13.设3阶方阵A的特征值为1,,,则A等于().2311(A)9；(B)；(C)6；(D).9614.在R[]x中，定义内积((),())fxgx=∫fxgxdx()(),则f()1,()xg=xx=的夹角0是（）.ππππ(A)；(B)；(C)；(D).2436xyz−++1125.直线==与平面45370xyz+−−=的交点坐标为（）.342−−(A)(2,3,0)−；（B）(2,3,0)；（C）(2,3,1)−；（D）(1,3,2)−.三．解答题：
4、（共80分）⎛⎞321−⎜⎟1．(15分)设A=−−222，问矩阵A是否可以相似于一个对角矩阵,若可⎜⎟⎜⎟⎝⎠361−−1以,求一个可逆矩阵T,使TAT为对角形矩阵.命题共2页第1页222⎧⎪xyz++=42．(10分)求圆⎨的圆心及半径.222⎪⎩xyzxyz+++++−=70xyz−13．(12分)求直线==绕直线x=yz=旋转所得旋转曲面的方程.2104．(10分)λ取何值时,下列二次型是正定的：222f(,,)5xxx=+++−−xxλx4xx2xx2xx.1231231213232335．（10
5、分）证明：如果()x++xf1
6、()xx+g()x，则fg()110=()=.6．(13分)用非退化线性替换将二次型222qxxx(,,)=+−+x5x4x2xx−4xx1231231213化为标准型．7．（10分）设λ,λ是线性变换σ的两个不同的特征值，ξ,ξ分别是σ的属于特1212征值λ,λ的特征向量．证明：ξ+ξ不是σ的特征向量．1212命题共2页第2页参考答案及评分细则一．填空题：（每小题2分，共10分）1.线性无关的2.03.的所有顺序主子式全大于04.一次多项式与部分二次多项式5．母线平行于y轴
7、的柱面二、单项选择题：（每小题2分,共10分）1．B2．D3．C4．D5．A三．解答题：（共80分）1．（15分）λ−−3212解：χλλ()=−=EA2λ+−=−+22(2)(4)λλ，A−−+361λ故特征向量为2和-4.………………5分⎛⎞21⎛⎞⎜⎟⎜⎟当λ=2时，特征向量ηη=−1,=0.………………2分112⎜⎟⎜⎟⎜⎟01⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞1⎜⎟当λ=−4时，特征向量η=−2.………………2分23⎜⎟⎜⎟3⎝⎠∵dim()dim(VV+=)3，故可以相似于一个对角矩阵.A………………2分24−⎛
8、⎞211⎛⎞200⎜⎟−1⎜⎟取可逆矩阵T=−102−，使TAT=020.………………4分⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠013⎜⎟⎝⎠004−2222．(10分)解：两方程相减，得xyz++−=30，故已知圆是球面Sxyz:4++=1答案共3页第1页与平面Π++−=:3xyz0.球面半径R=2，球心0到Π的距离111−322d==3，故圆半径rRd=−=1.…………5分1111++过球心O且垂直于Π的直线L：x=yz=，它与平面Π的交点即为圆心（1,1,1）.11…………5分3．(12分)解：原点O在旋转轴上，且轴的方向
9、向量是ξ=(1,1,1).可得方程组：⎧()xx−+−+−=′′′()yyzz()0,⎪⎪222222⎨xyzxyz++=++′′′,……………7分⎪′′′xyz−1⎪==.⎩210在方程组中消去x′,,yz′′，可得2222(xyz++−+++++−=)5(xyxzyzxyz)5()70.……………5分⎛⎞521−⎜⎟4．(10分)解：二次型的矩阵A=211−，………………3分⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−11λ它的顺序主子式DDD=>50,=>10,=−λ2.………………4分123故当λ>2时原二次型正定.……………
10、…3分−+13i25．（10分）解：设ε=，则ε,ε都是x+x+1的根.………3分2233由于()x++xf1
11、()xx+g()x，所以fg()11+εε()=+011,fg()()=0.…………5分因此得fg()110==().………………2分6．(13分)解：222222qxxx(,,)123=+−+x15x24x32xx12−4xx13=+−()xx122x3++−(2xx23)3(x3)．………………6分
