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1、南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第二学期使用班级计软0801－3班级学号姓名题号一二三四五六七八总分得分（符号说明：E表示单位矩阵，R表示矩阵的秩，表示行列式，T表示矩阵的转置,trace(A)表示矩阵A的足迹。）一、填空题（每题3分，共15分）xyzx−3y−5z−61．已知023=2，则−2−4−5=。111111T2．u为n维非零单位列向量，则矩阵uu的n个特征值分别为。⎛210⎞⎜⎟***3．设矩阵A=120，矩阵B满足ABA=2BA+E，其中A为A的伴随矩阵，则⎜⎟⎜001⎟⎝⎠
2、B
3、=。⎧x−x=a121⎪4．方程组⎨x−x=
4、a有解的充要条件为。232⎪⎩x−x=a3132−15．已知A−A−2E=0，则(AE−)=。二、选择题（每题3分，共15分）1．设A、B、C是三个同阶方阵、E为同阶单位矩阵，且ABC=E。下列等式：ACB=E;BAC=E;BCA=E;CAB=E;CBA=E。其中正确的个数有()（A）2个(B)1个(C)3个(D)4个2．设ε,ε,⋯,ε线性无关，η=ε+ε，η=ε+ε,⋯η=ε+ε,η=ε+ε，12n112223n−1n−1nnn1则关于向量组η,η,⋯,η的论述正确的是（）12n（A）一定线性无关（B）一定线性相关(C)相关与否与n有关（D）以上均不正确23.设三
5、阶方矩A的三个特征值分别为1,2,4,又矩阵B=A+A−3E,则如下正确的是()(A)矩阵Ｂ不可逆(B)矩阵Ｂ三个特征值为-1,3,17(C)矩阵B不可以对角化(D)traceB()18=4.设m×n阶矩阵RA()=r，则如下结论正确的是（）.TTTTTT（A）RAA()≠RA()(B)RAA()=RA()(C)RAA()>RA()(D)RAA()≠RA()5.如α,α,α,β,β都是四维列向量，且4阶行列式αααβ=m，123121231ααβα=n，则4阶行列式ααα(β+β)等于()122332112（A）m+n（B）m−n（C）−(m+n)（D）n−m三、(1
6、0分)计算n阶行列式x−mx⋯x12nxx−m⋯x12n⋯⋯⋯⋯xx⋯x−m12n⎛1000⎞⎜⎟⎜−2300⎟四、（12分）设四阶矩阵A=⎜⎟，方阵B满足矩阵方程AB+A=E−B，0−450⎜⎟⎜⎟⎝00−67⎠−1试给出(B+E)。五、（12分）求向量组α=(1,1,0,1),α=(2,0,1,3),α=(0,2,1,1),−−α=(0,1,1,1),−−1234α=(6,1,3,9)的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线5性无关组的线性组合。六、（13分）当ab,为何值时，线性非齐次方程组⎧x+x+x+x=01234⎪⎪2x+3x+4x+4
7、x=11234⎨−x+(a−3)x−2x=b⎪234⎪3x+2x+x+ax=−1⎩1234无解、有唯一解、或有无穷多组解？在有无穷多解时，求出其通解.222七、（16分）已知二次型fxxx(,,)=x+x+2x+2xx，试回答下列问题123123121）写出此二次型的矩阵A；2）利用正交变换X=QY该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；3）判断该二次型是何种二次型。八、（7分）设矩阵AB,均为实正交矩阵且A=−1,B=1，试证明：AB+=0.南京工业大学线性代数试题（A）卷试题标准答案2008--2009学年第一学期使用班级计软0801-3一、填空题(每
8、题3分，共15分)(1)2（2）1，0（n-1重）(3)-1/9(4)a+a+a=0（5）1A1232二、选择题(每题3分，共15分)1．A2.C3.B4.B5.D三、（10分）第2,3⋯,n列加到第1列：1x⋯x2n1x−m⋯x2nD=(x+x+⋯x−m)12n⋯⋯⋯⋯―――――――4分1x⋯x−m2n1x⋯x2n0−m⋯xn=(x+x+⋯x−m)――――――――――8分12n⋯⋯⋯⋯00⋯−mn−1n−1=(1)−m(x+x+⋯x−m)―――――――――――――――――10分12n四、（12分）解：由方阵B满足矩阵方程AB+A=E−B，可得AB+A+B+E=2E即
9、A(B+E)+(B+E)=2E―――――――――――――6分(A+E)(B+E)=2E由⎛1000⎞⎜⎟⎜−2300⎟A=⎜⎟0−450⎜⎟⎜⎟⎝00−67⎠⎛1000⎞⎜⎟−11⎜−1200⎟故(B+E)=(A+E)=⎜⎟―――――――12分20−230⎜⎟⎜⎟⎝00−34⎠五（12分）、解：以α,α,⋯,α为列，构成矩阵A并进行初等行变换。125⎛12006⎞⎛12006⎞⎜⎟⎜⎟102110−110−2A=(αT,αT,αT,αT,αT)=⎜⎟→⎜⎟―――6分12345⎜01−1−13⎟⎜0001−1⎟⎜⎟⎜⎟⎝13−1−19⎠⎝00000⎠秩
