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《中心集中荷载下简支斜板弯曲问题的解析解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、http://www.paper.edu.cn中心集中荷载下简支斜板弯曲问题的解析解12葛风光，彭嘉炜1河海大学土木工程系，江苏南京（210098）2黄河科技大学工学院，河南郑州（450053）E-mail：gefengguang@hhu.edu.cn摘要：本文利用斜坐标系下斜板的弯曲方程及边界条件,以及荷载与挠度的傅立叶无穷级数展开形式，导出了中心集中荷载作用下简支斜板弯曲问题的解析解。这种方法求解思路清晰，数值收敛性好,结果准确可靠，方法简单实用。关键词：斜板，简支，弯曲，中心集中荷载，傅立叶级数中图分类号:TU311.41．引言目前工
2、程建设突飞猛进，基本结构矩形板和圆形板已经不能满足现实工程的需要，斜板得到了广泛的应用。例如在建筑结构楼盖，刚性混凝土路面，斜交板桥，飞机的机翼，船舶结构中都有应用，因此对斜板弯曲理论进行分析有很大的实用价值。斜板由于缺乏矩形板的边界正交性，因此数学处理十分困难，工程上大多采用有限元方法进行分析计算，而有关斜板的解析解一直缺乏研究。本文在文献[1]的研究基础上，利用斜坐标系下斜板的弯曲方程及边界条件，将荷载与挠度采用傅立叶级数展开的形式，从而推导出中心集中荷载作用下简支斜板各点的挠度及内力，其结果与已有文献比较，吻合较好，可以在实际工程中加
3、以好好利用。2．基本方程及公式2.1斜板弯曲控制方程由于斜板的边界互不垂直，与直角坐标系不能完全对应，使得斜板的边界问题复杂化。为便于求解，采用图1所示的与斜板边界相对应的无量纲坐标系ξoη：ηη=1θξη=-1ξ=-1ξ=1图1简支斜板Fig.1Skewplatesimplysupported其斜板弯曲方程为：-1-http://www.paper.edu.cn42234()(,)asqξηW−+42pcWp(1+−+=2cW)4pcWpW(1)ξξξξξξξηξξηηξηηηηηηηDa32其中：scp===sin,θθcos,，DEh
4、=×()/⎡⎣12×−(1)µ⎤⎦，D——板的弯曲刚度，bE——板的弹性模量，µ——材料的泊松比，θ——斜板的斜角，h——板厚。2.2边界条件简支边：W=0（2）；M=0（3），可知：nD222AB、CD边：W＝0Mc=−⎡⎤()+µsW−2pcW+pW=0(4)n2⎣⎦ξξξηηη()asD222BC、AD边：W＝0MW=−⎡⎤−2(pcW+pc+µs)W=0(5)n2⎣⎦ξξξηηη()ashW(ξ,η)2.3齐次解齐次解采用两个分别沿斜坐标ξ、η方向的单傅立叶级数展开式，由于荷载与边界条件均关于中心对称，因此利用对称性，并叠加得到：h
5、22444WA(,)ξη＝+++AξAηA(pξη−)1234∞(6)++∑[ePλξnn(sinαηαQcosη)+eRλη(sinαξα+Scosξ)]nnnnnnnnn1＝Peλξn=−Cchξsinξξ+Cshcosξξ−Cshξsinξξ+Cchξcosξnn112212312412nnnnnnnnnnnQeλξn=+++CchξcosξξCshsinξξCshξcosξξCchξsinξn112212312412nnnnnnnnnnnnReληn=−CchCηsinηη+shCcosηη−shCηsinηη+chηcosηn5n
6、126nnn12712812nnnnnnnnSeληn=+++CchCηcosηηshCsinηηshCηcosηηchηsinηn5n126nnn12712812nnnnnnnn其中：ch======coshsh,,,,,sinhαnπξsKξξcKξKαpnn12nnnnnαnηη===sH,,ηηcHH，C～C均为待定常数。12nnnnn1n8np由于对称性，因此只有四个独立的边界条件，当截断级数最大项数取N时，可以产生8N+4个方程，联立方程正好求解全部8N+4个独立的待定常数。pW(,)ξη2.4特解中心集中力P可认为是均匀分布在
7、以点(,)ξη为中心的微小面积22ε×ε上的局部000ξη[2]均载q(,)ξη，则按二重傅立叶级数展开，可以得到：∞∞∞∞PPPP0000qB(,)ξηπ=+∑∑∑mncosmξ+Dmncosnπη+∑Gmncosmπξcosnπη42absabsmnm===1112absabsn=1B=1D=1G=1mnmnmnp特解W(,)ξη取相应二重傅立叶级数形式，即：-2-http://www.paper.edu.cn4∞∞p()asPP00220P00WB(,)ξηξ=+(22η∑∑mncosmπξ+DmncosnπηD32absp(12)+
8、c2absmn==112abs∞∞P000++∑∑(cGmnHmnmnoscπξosπηmnsinsπξin)πη+)absmn==110Bmn10Dmn1B==D==mn444
