高考专题等比数列-2018年高考数学（文）母题题源---精校解析Word版

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1、高考专题4等比数列【母题原题】【2018北京文5】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A．B．C．D．【答案】D【名师点睛】此题以数学文化为载体考查等比数列的基本概念及运用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列，然后运用通项公式求特定项，需要一定的运算能力；等比数列的判断方法主要有如下两种：（1

2、）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.【变式1】【2017课标II】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B。【名师点睛】以

3、数学文化为载体考查等比数列的应用，关键是合理建立数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。【变式2】【2017课标3】设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________.【答案】【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比

4、数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.【变式3】【2018年理新课标I卷】记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.解：根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个

5、式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.【命题意图】高考对本部分内容的考查以中档题为主，重点为考查等比数列的通项公式、前项和公式及性质，等比数列的证明也是考查的热点。在近年数列的考题中常常与数学文化相结合。数列作为一种特殊的函数，常常与方程、不等式、最值等问题相联系，意在考查考生的抽象能力、运算能力、逻辑推理能力及应用意识。【命题规律】这类试题在考查题型上，通常以选择题、填空题及解答题的形

6、式出现，属于中档题。高考对等比的考查主要有以下三个命题角度：（1）等比数列的基本运算；（2）等比数列的性质及其应用；（3）等比数列的判定与证明；【答题模板】解答本类题目，一般有两个基本思路：一是利用基本量，由等数比列的前n项和公式及通项公式；若已知a1，d，n，an，Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，

7、应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．【知识与方法总结】1.等比数列定义通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：()⇔为等比数列(3)通项公式法：(均是不为0的常数，)⇔为等比数列(4)为等差数列⇔(总有意义)为等比数列性质(1)若，，，，且，则(2)(3)等比数列依次每项和()，即，…仍成等比数列前n项和时，；当时，或.2.易错辨析（1）由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不

8、能为0，但q可为正数，也可为负数；（2）由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0；（3）在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误．1.【2018北京模拟】设数列满足，且，则（）