几何体的体积-2018年高考数学（文）母题题源系列（全国1专版） --精校解析Word版

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1、【母题原题1】【2018新课标1，文10】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A．8B．C．D．【答案】C【解析】分析：首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式详解：在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.点睛：该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.【母题原

2、题2】【2017新课标1，文16】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】36π【解析】点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.【命题意图】1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积

3、和体积的计算公式．2.了解球的表面积与体积的计算公式．【命题规律】一、空间几何体的体积1．柱体:V柱体＝Sh；V圆柱＝πr2h.2．锥体:V锥体＝Sh；V圆锥＝πr2h.3．台体:V台体＝(S＋＋S′)h；V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)．二、球的体积与表面积1．球的表面积公式：S＝4πR2；的体积公式V＝πR32．与球有关的切、接问题中常见的组合：图1(1)正四面体与球：如图1，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因

4、为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝a，CE＝a，则有R＋r＝a，R2－r2＝

5、CE

6、2＝，解得R＝a，r＝a.图2(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图2所示．设正方体的棱长为a，则

7、OJ

8、＝r＝(r为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则

9、GO

10、＝R＝a.③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则

11、A1O

12、＝R′＝a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体

13、，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重合．如图3，设AA1＝a，则R＝a.②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝＝(l为长方体的体对角线长)．【方法总结】1．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再

14、通过求和或作差求得几何体的表面积．2．“切”“接”问题的处理规律（1）“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．（2）“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为A．64B．C．D．128【答案】B【解析】【分析】本题先由三视图可以

15、得出几何体为三棱锥，再通过小正方形数出三棱锥高和底面的底和高的长度，最后通过三棱锥体积公式计算得出结果。【详解】由三视图可知，几何体是一个三棱锥，高为，底面面积为几何体体积即为故选B。【点睛】三棱锥体积计算公式：。2．将正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角为A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】设是折叠前的位置，连接，因为，所以就是直线与所成的角，设正方形的边长为，因为平面，平面，所以，因为，所以，即是等边三角形，所以，所以直线与所成的角为，故选C.【点睛】本题考查了线面位置关系及异面直线所成的角等知识点，综合性较强

16、，属于中档题。3．【广东省化州市2019届高三上学期第一次模拟考试