高考数学母题题源系列专题11几何体面积、体积的计算文

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1、母题十一几何体面积、体积的计算【母题原题1】【2018天津，文11】如图，已知正方体的棱长为1，则四棱锥的体积为__________．【答案】【名师点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【母题原题2】【2017天津，文11】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【答案】【解析】设正方体边长为，则，外接球直径为．13【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球

2、可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法．【命题意图】高考对本部分内容重点考查球的体积与表面积的计算．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一是计算球的体积与表面积；二是已知球的体积与表面积求解相关问题．【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求正方体的边长根据正方体的表面积为18，求正方体的边长；第二步：求外接球的半径正方体的体对角线的一半；第三步：

3、下结论．根据球的体积公式计算．【方法总结】（1）若球的半径为，则其表面积为，体积为．（2）正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝a．（3）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．（4）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1．（5）解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．1．【2018天津河北

4、区二模】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）13A．B．C．D．【答案】A【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．2．【2018天津上学期期末考试】一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（）A．12B．

5、24C．36D．48【答案】C【解析】由三视图可得该四棱柱的高为6；底面为梯形，且梯形的上、下底分别为2、4，梯形的高为2．13故四棱柱的体积为．选C．3．【2018天津静海期中考试】已知三棱柱中，底面，，，，，则该三棱柱的表面积是A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：该几何体的表面积由两个直角三角形的底面与三个矩形的侧面组成，求出直角三角形的面积与矩形的面积即可得结果．详解：【名师点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题．要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）③可

6、以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径．4．【2018天津实验中学期中考试】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）13A．B．C．D．【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥与正方体的组合体，所以体积为，选C．【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．5．【2018天津耀

7、华中学期中考试】一个球受热膨胀，表面积增加，那么球的半径增加了（）A．B．C．D．【答案】D8．【2018天津七校联考期中考试】在梯形中，，，．将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】几何体为一个圆柱去掉一个圆锥，体积为，选C9．【2018天津耀华中学模拟三】某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．13【答案】B10．【2018天津南开中学模拟】一个几何体的三视图如图所示（单位：)，则该几何体的体积为