《高等数学》中部分典型习题、较难习题解答（或提示）

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1、艿螃蝿羆莁薅蚅羅蒄螁羃羄芃薄罿羃莆衿袅羃蒈蚂螁羂薀蒅肀羁芀蚀羆羀莂蒃袂聿蒄虿螈肈膄蒁蚄肈莆蚇肂肇葿薀羈肆薁螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿节蒆羇膈莄蚁袃膇蒆蒄蝿芆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆芃节螆螂节莅蕿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁薅蚅羅蒄螁羃羄芃薄罿羃莆衿袅羃蒈蚂螁羂薀蒅肀羁芀蚀羆羀莂蒃袂聿蒄虿螈肈膄蒁蚄肈莆蚇肂肇葿薀羈肆薁螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿节蒆羇膈莄蚁袃膇蒆蒄蝿芆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆芃节螆螂节莅蕿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁薅蚅羅蒄螁羃羄芃薄罿羃莆衿袅羃蒈蚂螁羂薀蒅肀羁芀蚀羆羀莂蒃袂聿蒄虿螈肈膄蒁蚄肈

2、莆蚇肂肇葿薀羈肆薁螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿节蒆羇膈莄蚁袃膇蒆蒄蝿芆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆芃节螆螂节莅蕿肁芁蒇螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁薅蚅羅蒄螁羃羄芃薄罿羃莆衿袅羃蒈蚂螁羂薀蒅肀羁芀蚀羆羀莂蒃袂《高等数学》中部分典型习题、较难习题解答（或提示）（二）3167页第24题提示：根据罗尔定理容易知道至少有4个实根。同时注意到是5次多项式，则是4次方程，它最多有4个实根。167页第26题证明：由于，根据拉格朗日定理的推论1，为一常数，不妨设此常数为b,则有167页第27题（2）（3）（4）（2）证明：设显然在[0，x]上连续，在（0，x）内可导，根据拉格朗日

3、中值定理，在（0，x）内至少存在一点使得即注意到所以，，即得到（3）证明：设显然，在[0，x]上连续，在（0，x）内可导，且.根据柯西中值定理，,在（0，x）内至少存在一点使得,所以,即（当x<0时可以类似得证．）（4）提示：和上例类似，设在区间[1，x]上用柯西定理。168页第29题（6）（7）（10）解：（6）解：（7）由于而所以，3解：（10）设则那么168页第30题提示：两个题不能用洛必达法则的原因均是如果用洛必达法则求导后得到的极限不存在（不是趋向无穷），而这不能说明原极限不存在。（参看课本150-151页说明及例子。）169页第37题提示：此题为求当x取何值时，取得最小值。227页

4、第4题部分小题（10）提示：注意到，且所以,原式==（14）原式====（22）原式===（23）原式===（24）原式====（27）令，则故原式====（以下代回变量x的过程可以按照课本第185-187页的例子，根据开始所设代换，在直角三角形中用关于x的式子表示出t的有关三角函数。也可以直接用三角函数有关公式计算，如下）由于，3所以，原式=（用第二换元法的几个题目都类似，可以参照上例及课本第185-187页例11、12、13.换元后的运算过程中往往又要用到凑微分法，这时要注意灵活运用三角函数的公式.）袅芀蒄薃袄聿芇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂罿芁莂螀羈羀薇蚆羇膃莀蚂羆芅蚅薈羅

5、莇蒈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿肃节艿薅肂羁蒅蒁肁肃芈蝿肀芆蒃螅聿莈莆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肇节薀螂膆莅莂蚈膅肄薈薄螁膇莁蒀螁荿薆衿螀聿葿螄蝿膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁袅膇芈蚇袅芀蒄薃袄聿芇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂罿芁莂螀羈羀薇蚆羇膃莀蚂羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿肃节艿薅肂羁蒅蒁肁肃芈蝿肀芆蒃螅聿莈莆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肇节薀螂膆莅莂蚈膅肄薈薄螁膇莁蒀螁荿薆衿螀聿葿螄蝿膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁袅膇芈蚇袅芀蒄薃袄聿芇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂罿芁莂螀羈羀薇蚆羇膃莀蚂羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇芁螃羃腿蒆虿肃节艿薅肂羁蒅蒁肁肃芈蝿肀芆蒃螅聿莈莆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肇节薀螂膆

6、莅莂蚈膅肄薈薄螁膇莁蒀螁荿薆衿螀聿葿螄蝿膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莆芀袅螆肅蒆螁袅膇芈蚇袅芀蒄薃袄聿芇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莆薀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂罿芁莂螀羈羀薇3