高等数学极限部分经典习题解答

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1、第一次习题课解答1、。提示：，；，；令，。2、证明：当时，，（）提示：方法1：分情况讨论（1）；（2）（显然成立）；（3）（令，利用（1）的结论即可）。注意到不等式：，由夹逼法则即得证！方法2：利用海涅定理，只需考虑极限。方法3：用定义证明：要使成立，即，当时，左边不等式成立，只需，即，故令，。思考：，，。提示：令，于是要使成立，只需，注意到，于是，，从而。注意到不等式：，由夹逼法则即得。3、设，证明：极限不存在。提示：令，则；令，则；于是极限不存在。4、设证明：收敛。提示：注意到，因此有下界；，因

2、此单减；于是收敛。设，两边取极限，得。5、设单增，单减且，则与存在且相等。提示：因为，所以，即有，，这样数列单增有上界，数列单减有下界，从而极限存在，不妨设，注意到条件，从而。6、求下列极限：（1）；（2）；提示：（3）；提示：当时，原式=，又，显然极限不存在；时，原式为0，综上所述有。（4）;提示：注意到，有界，故无穷小乘有界还是无穷小。（5）；提示：令，因为，故，于是，从而，即=0.（6），其中；提示：令，注意到不等式：7、，其中为常数，求。提示：原式=，于是，从而。8、，求常数。提示：令，从而

3、。9、设数列，（1）研究数列的单调性；提示：=。（2）利用（1）的结果证明不等式对任意的正整数都成立；提示：数列单增趋于，而单减趋于，故有不等式：，两边取对数即有。（3）证明：数列收敛。提示：，故单减；对于不等式，令相加得，即，于是数列有下界，从而极限存在。10、某顾客向银行存入本金元，几年后他在银行的存款额是本金及利息之和，设银行规定年利率为，试根据下述不同的结算方式计算顾客几年后的最终存款额：（1）每年结算一次；（2）每月结算一次，每月的复利率为；（3）每年结算次，每次结算周期的复利率为，证明最

4、终存款额随的增加而增加；，仿书上证明关于是单增的。（4）当趋于无穷大时，结算周期为无穷小，这意味着银行连续不断地向顾客付利息，这样的存款方式为连续复利，试计算连续复利下顾客的最终存款额。。