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1、关于勾股数计算的两个新公式庄严庄宏飞(辽阳铁路器材厂辽阳111000)摘要：木文提出并证明了勾股数通解公式、勾股数再生公式，实现了全部勾股数的定a宜求，这种只用算术运算就能得到三元二次方程a2^b2=c2有全部理数解的方法，简单方便，易教易学，具有待殊的实用价值和理论义意。关键词：勾股数勾股数通解公式勾股数再生公式增元求解法同差直角三角形1・引言勾股定理是数学中一个即普通乂非常重要的定理，它总结表述出了直角三角形三边a,b,c的边长关系是：a2+b2=c2o西方人把这个定理称为毕达哥拉斯(Pythagoras)定理⑴，它大约在公元前5世纪由古西腊学者毕达哥拉斯提出。而我国的
2、商高在公元前11世纪时就已对勾股定理进行了论证应用⑵，所以在我国，勾股定理又称做商高定理。rti直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方关系，人们归纳出了勾股定理的一般方程：x2+y2=z2o这里，如果X、y、z是非零正整数的话，上述方程实际上就是一个求非零正整数解的不定方程。人们通常又把上述不定方程的非零正整数解称为勾股数组，比如(3,4,5),(7,24,25)。(8,15,17)等等，都是勾股数组。围绕如何求得勾股数组，古今中外的数学家们进行了大量探索并给出了各具特色的法则公式。它们分别是：毕达哥拉斯法则:x=2n+l,y=2n2+2n,z=2n2+2n+l；(其
3、中n为21正整数)柏拉图(Plato)法则：x=2m,y=m2-l,z=m2+l；(其中m为M2的正整数)"欧儿里得(Euclid)法则：x=y[mn,y=^(m-n),z=4(m+n):(其中m、n同奇偶，并且mn为完全平方数)⑷丢番图(Diophantus)法则：x二m+Q矗，y=n+yj2mn,z二m+n+J2加;(其中2mn为完全平方数)(51但其中较便捷的方法当属我国清代数学家罗士琳提出的勾股数法则叫取m、n为任意正整数，并且m>n,则下式：x=m2-n2{y=2mnz=m2+n2中的x、y、刀必然是勾股数组，满足x2+y2=z2o在以上的各种法则中，毕达哥拉斯法
4、则可求得部分x为奇数的勾股数，柏拉图法则可求得部分x为偶数的勾股数，欧儿里得法则、丢番图法则在计算时需要对/进行合数因子分解，需要求得二元不定方程未知数m、n的全部不定解，因而常人难以掌握应用；而罗世琳法则也不能求得全部勾股数组。例如，当(x=9,y=12,z=15)吋，在罗世琳法则中找不到相应的m、航时至今口，熟练自由地学习掌握运用勾股定理，仍然是大多数人心中可望所不可及的知识梦想。所以，寻找一个通用法则，通过直观简单的计算就能够一个不漏的求得方程x2+y2=z2的全部非零正整数解，进而找到不同勾股数组屮x、y、z的内在联系，仍然是勾股数性质研究屮需要解决的难点问题。本文
5、以直角三角形三边a,b,c的边长关系为切入点，提出了求算平方整数解(勾股数)的两个新公式：“勾股数通解公式”，“勾股数再生公式”，为平方整数解问题建立了新理论。2.勾股数通解公式（定a直求法）2.1定义1.增元求解法在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入，使其构成等式关系并参与求值运算。这种利用增加未知数项元來实现对多元代数式求值的方法叫增元求解法。2.2公式1.勾股数通解公式：在以下a、b、c、Q关系屮，当取定a值后，如Q值使b=（a2-Q2）4-2Q是整数，则a、b、c必是勾股数；且由朋标准分解因数全排列重组条件得到的不大于a的全部Q值可求得含a全部
6、勾股数；a^3>4、5…{b二（a-Q2）4-2Qc二b+Q这里，使上式中（a2-Q2）-2Q的值恒为整数的Q值条件是：若a为$3的奇数，在『的标准分解因数（包括1）全排列重组乘积中，取小于a的因数积为Qo若a为24的偶数,在『的标准分解因数（包括1）中去掉一个2后为有效因数，在有效因数全排列重组乘积屮，取小于a的偶数因数积为Qo证：首先证明此时的a、b、c是公式勾股数条件；若a是$3的整数，在正方形面积关系中取一边长为a的正方形，由边长为a得到面积为『，现引入增元项Q并使（八Q2）4-2Q二b关系成立（其中Q为增元项，且b、Q都是整数），则可把原正方形面积『分解为a2=Q
7、'+Qb+Qb,把分解关系按下列关系重新组合后对得到新图形图1,其缺口刚好是一个边长为b的正方形，如补足新图形缺口而积1?后则可重新得到一个边长为b+Q的正方形，如图2；由b、Q都是整数条件可知，此时b+Q的值一定是整数。Q2QbQb图1将«拆组为QSQb+Qb形式图Q2QbQbb2图2补足缺口面积b?后重新得到正方形图现取b+Q=c,根据直角三角形边长关系的勾股弦定理a2+b2=c2条件可知，此吋的a、b、c是直角三角形的三个整数边长。同时得到，任何满足a+b2=c2条件的（a,b,c）勾股数b值都可表为b二（a
