北师大版七年级数学上册第4章专项训练4巧用角平分线的有关计算(0001)

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1、专训4　巧用角平分线的有关计算名师点金：角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．角平分线间的夹角问题(分类讨论思想)1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．[来源:学。科。网][来源:Zxxk.Com]巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD间的夹角是多少度？(第2题)巧用角平分

2、线解决角的和、差、倍、分问题(方程思想)3．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．[来源:Zxxk.Com](第3题)巧用角平分线解决角的推理问题(转化思想)4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF有怎样的关系？说明理由．[来源:学#科#网](第4题)[来源:学&科&网]角平分线与线段中点的结合5．如图，(1)已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．(

3、3)如果(1)中∠BOC＝β(β＜90°)，其他条件不变，求∠MON的度数．(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律？(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律．(第5题)答案1．解：(1)如图①，当OC落在∠AOB的内部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°.所以∠MON＝∠BOM－∠BON＝50°－30°＝20°.(第1题)(2)如图②，当OC落在∠AOB的外部

4、时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°.所以∠MON＝∠BOM＋∠BON＝50°＋30°＝80°.综上可知，∠MON的度数为20°或80°.2．解：因为∠CBA与∠CBA′折叠重合，所以∠CBA＝∠CBA′.因为∠EBD与∠A′BD折叠重合，所以∠EBD＝∠A′BD.又因为这四个角的和是180°，所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝×180°＝90°，即两折痕BC与BD间的夹角为90°.3．解：设∠AOC＝x，则∠COB＝2x.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠AOB＝(∠AO

5、C＋∠BOC)＝x.又因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，所以19°＝x－x，解得x＝38°.所以∠AOB＝3x＝3×38°＝114°.4．解：∠DOE＝∠COF.理由如下：因为OD平分∠AOB，所以∠DOB＝∠AOB.因为OF平分∠BOC，所以∠BOF＝∠BOC.所以∠DOB＋∠BOF＝∠AOB＋∠BOC＝∠AOC，即∠DOF＝∠AOC.又因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝∠AOC.所以∠DOF＝∠EOC.又因为∠DOF＝∠DOE＋∠EOF，∠EOC＝∠EOF＋∠COF，所以∠DOE＝∠COF.5．解：(1)因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝∠A

6、OC，∠NOC＝∠BOC.所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝∠AOC－∠BOC＝(∠AOB＋∠BOC)－∠BOC＝∠AOB＝45°.(2)∠MON＝∠AOB＝.(3)∠MON＝∠AOB＝45°.(4)从(1)(2)(3)的结果中可看出：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小变化无关．(5)可设计的问题：如图，线段AB＝a，延长AB到C使BC＝b，点M，N分别是线段AC，BC的中点，求线段MN的长．(第5题)解：因为点M，N分别是线段AC，BC的中点，所以MC＝AC，NC＝BC.所以MN＝MC－NC＝(AC－BC)＝AB＝a.规律：线段MN的长度总等于线

7、段AB长度的一半，而与线段BC的长度变化无关．