2012全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、如果，那么的值为【】（A）（B）（C）2（D）解：B∵∴，，因此原式=2、在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标（x，y）的个数为【】（A）10（B）9（C）7（D）5解：B解法一：化为因为x、y均为整数，因此或或分别解得或或所以共有9个整点解法二：化为它表示以点（1,1）为圆心，为半

2、径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）3、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD=3，BD=5，则CD的长为【】（A）（B）4（C）（D）4.5解：图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．由于AC=BC，CD=CE，．所以△BCD≌△ACE，BD=AE．又因为，所以．在△中，，于是DE=，所以CD=DE=4．4、如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【】（A）5（B）6（C）7（D）8解：C∵

3、p、q是正整数∴，∴正根为解得∴，，，，，，5、黑板上写有，，，…，共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【】（A）2012（B）101（C）100（D）99解：C∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：，，，……二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．解：7在两边乘以得即7、如图，⊙的半径为20，是⊙上一点．以为对角线作矩形，且．延长，与⊙分别交于两点，则的值等于．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．．8、设为整数

4、，且1≤n≤2012.若能被5整除，则所有的个数为.解：1600因此，所以，因此所以共有2012-402=1600个数9、如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是.解：依题意得：，所以，代入（2）得，两边乘以a得即化简得，两边除以得所以另一方面：a≤b≤c，所以综合得10、已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．解：依题意得由于是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数当1≤≤100时，4的倍数共有25个但是，，，，，，，，，这些不符合要求，因

5、此这样的n有25-12=13个三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、如图，在平面直角坐标系中，，，．与轴交于点，且．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin∠ABC=，，所以AB=10．由勾股定理，得．易知，因此CO=BO=6．于是，，．设点D的坐标为．由，得．所以，．解得．因此D为AB的中点，点D的坐标为．因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为．设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．将点E的坐标代入，解得a=．故经过B，C，E三

6、点的抛物线对应的二次函数的解析式为．12、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心.求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB＋AD＝2BD.（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知，．所以，CI=CD．同理，CI=CB．故点C是△IBD的外心．连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA=OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI．故OI是△IBD外接圆的切线．（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．由，知OC⊥BD．因为∠CBF=∠IAE，BC=CI=AI，所以．所

7、以BF=AE．又因为I是△ABD的内心，所以．故．13、给定一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由．解：14、将，，…，（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．所以，．下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组．同理可设在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．

8、所以，的最小值为．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．