《线性微分方程》doc版

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2、肅蒂袄羅莃蒁薃螇艿蒀蚆羃膅葿螈螆肁薈蒈羁羇薇薀螄芆薆螂罿节薆袅袂膈薅薄肈肄薄蚇袁莂薃蝿肆芈薂袁衿膄蚁薁肄肀芈蚃袇羆芇袅肃莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄螀羄肃芄袂螇莂芃薂羂芈莂蚄螅膄莁螆羀肀莀蒆螃肅荿蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆莇薂袀肂莆蚅肅羈蒅螇袈芇蒄蒇肃膃蒃蕿袆腿蒂螁膂肅第4章线性微分方程1．了解n阶线性微分方程的概念，知道n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，了解n阶线性微分方程解的存在唯一性定理．（1）在n阶线性微分方程y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pn-1(x)y′+pn(x)y=f(x)(4.5)中，令y′=y1，y″=y2，…，y(n-1)=yn-1，(4.5)式

3、就可以化成一阶方程组(4.7)(4.7)可以写成向量形式(4.8)（2）n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系：方程(4.5)与方程组(4.7)是等价的，即若y=φ(x)是方程(4.5)在区间I上的解，则y=φ(x)，y1=φ′(x)，…，yn-1=φ(n-1)(x)是方程组(4.7)在区间I上的解；反之，若y=φ(x)，y1=φ1(x)，…，yn-1=φn-1(x)是方程组(4.7)在区间I上的解，则y=φ(x)是方程(4.5)在区间I上的解.（3）n阶线性微分方程解的存在唯一性定理：条件：方程的系数（k=1,2,…，n）及其右端函数f(x)在区间I上有定义且连续；结

4、论：对于I上的任一及任意给定的，方程的满足初始条件的解在I上存在且唯一.2．理解n阶线性齐次微分方程解的结构和通解基本定理，了解n阶线性齐次微分方程的基本解组，掌握刘维尔公式．（1）朗斯基(Wronski)行列式定义：设函数组φ1(x)，φ2(x)，…，φn(x)中每一个函数φk(x)(k=1,2,…,n)均有n-1阶导数，我们称行列式为已知函数组的朗斯基(Wronski)行列式.（2）n阶齐次方程的解的线性无关性判别定理：齐次方程的n个解，，…，7在其定义区间I上线性无关（相关）的充要条件是在I上存在点x0，使得它们的朗斯基行列式W(x0)≠0（W(x0)＝0）.（3）n

5、阶线性齐次微分方程解的结构和通解基本定理：如果，，…，是齐次方程的n个线性无关解，则y=++…+是方程的通解，其中为n个任意常数.（4）基本解组定义：方程的定义在区间I上的n个线性无关解称为该方程的基本解组.（5）n阶齐次方程的线性无关解的个数不超过n个.（6）n阶齐次方程总存在定义在区间I上的基本解组.（7）刘维尔(Liouville)公式：设，，…，是方程的任意n个解，W(x)是它们朗斯基行列式，则对区间I上的任一x0有W(x)=W(x0)上述关系式称为刘维尔(Liouville)公式.朗斯基行列式的两个重要性质：性质１．方程解的朗斯基行列式W(x)在区间I上某一点为零

6、，则在整个区间I上恒等于零.性质２．方程解的朗斯斯行列式W(x)在区间I上某一点不等于零，则在整个区间I上恒不为零.3．理解n阶线性非齐次微分方程的通解定理，掌握n阶线性非齐次微分方程用常数变易法法求通解的方法．通解定理:n阶线性非齐次方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和.4．了解n阶常系数线性齐次方程的概念，熟练掌握n阶常系数线性齐次方程的单特征根的待定指数函数解法及重特征根的待定指数函数解法．常系数线性齐次方程y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y′+any=0（4.21）其中a1，a2，…，an为实常数.称P(λ)=λn+a1λn-1+…

7、+an－１λ+an=0（4.25）为方程(4.21)的特征方程，它的根称为特征根.单特征根的基本解组定理：若特征方程(4.25)有n个互异根λ1，λ2，…，λn，则（4.26）是方程(4.21)的一个基本解组.重特征根的基本解组定理：如果方程(4.21)有互异的特征根λ1，λ2，…，λp，它们的重数分别为m1，m2，…，mp，mi≥1，且m1＋m2＋…＋mp＝n，则与它们对应的(4.21)的特解是(4.30)且(4.30)构成(4.21)在区间(－∞，＋∞)上的基本解组.5．了解n阶常系数线性非齐次方程的概念，熟练