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时间:2018-12-24
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1、高阶微分方程的降价技巧作者:陈思指导老师:张海摘要:一般的高阶微分方程没有普遍的解法,处理问题的基本原则是降价,利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般说来,低价微分方程的求解比高阶微分方程方便些,特别地,对于二阶(变系数)齐次线性微分方程,如能知道它的一个非零特解,则可利用降价求得与它线性无关的另一特解,从而得到方程的通解,对于非齐次线性微分方程,只需运用常系数变异法求出它的一个特解,就能求通解。本文总结了一些基本的降价技巧并举例说明。关键词:方程,降阶,技巧,解,特解,通解,微分方程1引言:价微分方程的求解比高阶微分方程方便,通常,高阶微分方程的
2、求解方法是先进行降阶,将其降为低阶微分方程再求其解。本文先介绍了三类基本的二阶微分方程的降价技巧,然后又总结了一些更高阶的微分方程的降阶及求解。2形如型2.1降阶技巧;设两端积分,即有:再积分一次,得函数为方程的通解2.2例:求解二阶微分方程解:两端积分,得:再积分,得总结小语:同样的方法可以求出形如的通解3形如型3.1设二阶微分方程为,方程中不显含未知函数,令:,则故原方程变为,设其通解为:若的原函数为则原方程的通解为:3.2求解解:令则原方程变形为:此方程为一阶线性微分方程:所以原方程的通解为:4形如型4.1对于这种类型的方程,不显含,做变换:则:则原方程变为:从而化为
3、一阶微分方程4.2例:求二阶微分方程解:令,则原方程变为:消去:即:即故原方程的通解为:5形如型(3)5.1对于的n阶方程,将表示为参数的函数,得到与(3)等价的参数方程(4)积分(4)的第二个方程:继续下去,求得:于是,方程的解为:(5)5.2例;解解:令,则则,若将视为参数,则上式与一起给出原方程的解。6形如型5.1对于(6),若可以解出(7),令,得,积分可得:若解得:即:积分可得:若从(6)中解不出,用参数表示,,经过积分可得(6)的参数形式的解为:5.2例2解方程:解:令,得到:,即,积分可得:所以:所以:又因:故:上式与表达式:一起为原方程参数形式的解,其中p为
4、参数。若从它们中消去参数p,得到显示解:(其中,)6形如型对于(8)的n阶方程,在令以后,将(8)化成(n-k)阶的方程(9)若方程(9)可以积分,求得:即:连续积分k次,可求得(8)的解:例3:求方程的解解:令,则方程化为:这是一阶方程,积分可得:,即于是:(其中,,…为任意常数),这就是原方程的通解。7形如型若令,并以它为新未知函数,而视为新自变量,则方程可以降低一阶。对于:(10)的n阶方程‘令(11)(12)将(11)(12)代入(10),得到一个关于函数z和自变量y的n-1阶方程,若此方程可以积分,最后可得到关于y的一阶方程例:解方程解:令:,化原方程为,再令:得
5、解得:即:,积分可得:用除两边,假定;另一方面,验算知为一特解8形如型,对于(13)的阶方程,若左端关于是次的齐次函数即:令:(13)则:(14)将(4),(5)代入(13),得到关于未知函数的阶方程若求得(16)的通解即积分(17),得到例5:解方程:解:令,,化原方程为解得:则:当约去因子时,假定,经核验,仍为一特解,但此解可以包含在通解之中。9形如型的方程对于(18)的阶方程,若左端关于是次的齐次函数,即;令;(19)则:(20)将(19)(20)代入(18),由齐次性得知:方程(21)不显含自变数的阶方程,可用6的方法求解。例6解方程:解:这是左端关于的三次齐次函数
6、令则:代入原方程,消去公因子得到:再令:,得:由,得出再积分得:;即:由得:,,但此解不包含在通解中。10形如型的方程对于(22)的阶方程,若将算作一次,算作次,即为次,为次,为次时,(22)的左端是齐次函数。令(23)则(24)将(23)和(24)代入(22),得到一个不显含自变量的方程,可用4的方法求解。例7解方程解:将算作一次,算作两次时,所给方程的左端为四次齐次函数令,则代入原方程,消去因子后,得出令上式化为:由。得,即当时,由,得出即:当时,同理由,可得:11恰当导数方程定义:假如方程(1.8)的左端恰为某一函数对x的导数,即(1.8)可化为:则(1.8)称为恰当
7、导数方程。降阶技巧:这类方程的解法与全微分方程的解法相类似,显然可降低一阶,成为:之后再设法求解这个方程。例5求解解:易知可将方程写为故有:即:积分后即得通解:例6求解解:先将两端同乘不为0的因子,则有:故,从而通解为评析:这一段解法的技巧性较高,关键是配导数的方法。12形如型对于(25)的n阶方程,若,则(26)为方程(25)的首次积分。这样就把方程降低一阶。有时方程(25)的左端虽不是恰当导数,但乘以因子后求得首次积分例8解方程解:因为所以积分可得13齐次线性微分方程:(4.2)方程(4.2)的求解问题可归结为
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