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1、第六章非线性微分方程6.1稳定性6.1.1常微分方程组的存在唯一性定理讨论非线性常微分方程组^=g(f,y),ywR"(6.1)dt的解的性态.设初值条件为>Vo)=yo(6.2)考虑包含点(to,jo)=(A)Jyio,j2o»•••»Jno)的某个区域R:Ir—A)ISa,
2、
3、y-yoII少此处范数定义为M=p^局部利普希茨条件对于G内任一点(r0,Jo),存在闭邻域RuG,而g(/,刃于R上关于j满足利普希茨条件,即存在常数厶>0,使得不等式IIg(t,Ji)-g(t,y2)II4、(/,j)在域R上连续且关于j满足利普希茨条件,则方程组(6.1)存在唯一解尸曲;/o,7o),它在区间t-to5、6、g(t;y)IMJ亿.忖解的延拓与连续性定理如果向量函数g(r,y)在某域G内连续,且关于j满足局部利普希茨条件,则方程组(6.1)的满足初值条件(6.2)的解尸讽/;r(),jo)可以延拓,或者延拓到+oo;或者使点(心夬;r(),jo))任意接近区域G的边界.而解r0,Jo)作为/;/o,Jo的函数在它的存在范围内是连续的.可微性定理如果向量函数g(r,j)及在域G内连续,则方7、程组(6.1)由初值条件(6.2)确定解曲;%,为)作为/;如旳的函数在它的存在范围内是连续可微的.6.1.2李雅普诺夫稳定性方程组(6.1)的特解y=^t)作变换x=y-(pit)将方程化为dx—=/(r;x)(6.7)dt其中/(/;兀)=g(/;y)—理耳=g(r;兀+e(r))—g(r,e(r))at从而把方程组(6.1)的特解尸讽/)变为方程组(6.7)的零解x=0.定义如果对任意给定的£>0,存在/>0(8一般与£和r0有关),使当任一xo满足8、9、xo10、11、5测力程组(6.7)的由初值条件X(ro)=Xo确定的解兀⑴,对一切t>tQ均有II兀(7)12、13、V£,则称方程14、组(6.7)的零解x=0为稳定的.如果(6.7)的零解x=0稳定,且存在4)>0使当15、16、xo17、18、<4)时,满足初值条件x(r0)=x0的解x(t)均有lim兀(f)=0则称零解x=0是渐近稳定的.如杲尸0渐近稳定,11存在域D),当J1仅当X()eD)时满足初值条件x(r0)=x()的解x(r)均有limx(r)=0t―则域Do称为(渐近)稳定域或吸引域.若稳定域为全空间,即§=+汽则称零解X=0为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.若零解x=0是不稳定,即:如果对某个给定的£>0不管/>0怎样小,总有一个Xo满足II勺19、20、使由初值条件x(to)=Xo所确定的解x(t)至少存在某21、个t>to使得22、23、x(t)\=E.6.1.3按线性近似决定稳定性最简单的一阶常系数线性微分方程组dx竺=Ax(6.10)dth其任一解可表示为为c沁广0,124、11x11T025、,(11X26、27、—>0)定理2若特征方程没有零根或零实部的根,则非线性微分方程组(6.13)的零解的稳定性与其线性近似的方程组(6」0)的零解的稳定性一致.例1考虑有阻力的数学摆的振动,其微分方程为drmdtI其中/为长度,加为质量,g为重力加速度,且均大于零,设阻力系数“>0.定理3设给定常系数的n次代数方程ci^X1+偽才2+...4-cin_^A,+citl=0其中他>0,作行列式a000。2“-1川-2-3a2/i-40000i4z>0(z>n)则代数方程的一切根均有负实部的充要条件是下列不等式同时成立:aA>0,A2>0,A3>0,…,△门>0,an>0.例2考虑一阶28、非线性微分方程组X2eX+z-+2X--必一力©力血一力广「Is」2Z+y3X+2z2zoXe-z-y+X=例3对三次代数方程/l'+(a+Z?+1)22+b(a+c)/i+2ab(c-1)=0其屮d>0,b>0,e>0,考虑其根均具有负实部时参数c的变化范I韦I.作业:6.2V函数方法6.2.1李雅普诺夫定理
4、(/,j)在域R上连续且关于j满足利普希茨条件,则方程组(6.1)存在唯一解尸曲;/o,7o),它在区间t-to5、6、g(t;y)IMJ亿.忖解的延拓与连续性定理如果向量函数g(r,y)在某域G内连续,且关于j满足局部利普希茨条件,则方程组(6.1)的满足初值条件(6.2)的解尸讽/;r(),jo)可以延拓,或者延拓到+oo;或者使点(心夬;r(),jo))任意接近区域G的边界.而解r0,Jo)作为/;/o,Jo的函数在它的存在范围内是连续的.可微性定理如果向量函数g(r,j)及在域G内连续,则方7、程组(6.1)由初值条件(6.2)确定解曲;%,为)作为/;如旳的函数在它的存在范围内是连续可微的.6.1.2李雅普诺夫稳定性方程组(6.1)的特解y=^t)作变换x=y-(pit)将方程化为dx—=/(r;x)(6.7)dt其中/(/;兀)=g(/;y)—理耳=g(r;兀+e(r))—g(r,e(r))at从而把方程组(6.1)的特解尸讽/)变为方程组(6.7)的零解x=0.定义如果对任意给定的£>0,存在/>0(8一般与£和r0有关),使当任一xo满足8、9、xo10、11、5测力程组(6.7)的由初值条件X(ro)=Xo确定的解兀⑴,对一切t>tQ均有II兀(7)12、13、V£,则称方程14、组(6.7)的零解x=0为稳定的.如果(6.7)的零解x=0稳定,且存在4)>0使当15、16、xo17、18、<4)时,满足初值条件x(r0)=x0的解x(t)均有lim兀(f)=0则称零解x=0是渐近稳定的.如杲尸0渐近稳定,11存在域D),当J1仅当X()eD)时满足初值条件x(r0)=x()的解x(r)均有limx(r)=0t―则域Do称为(渐近)稳定域或吸引域.若稳定域为全空间,即§=+汽则称零解X=0为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.若零解x=0是不稳定,即:如果对某个给定的£>0不管/>0怎样小,总有一个Xo满足II勺19、20、使由初值条件x(to)=Xo所确定的解x(t)至少存在某21、个t>to使得22、23、x(t)\=E.6.1.3按线性近似决定稳定性最简单的一阶常系数线性微分方程组dx竺=Ax(6.10)dth其任一解可表示为为c沁广0,124、11x11T025、,(11X26、27、—>0)定理2若特征方程没有零根或零实部的根,则非线性微分方程组(6.13)的零解的稳定性与其线性近似的方程组(6」0)的零解的稳定性一致.例1考虑有阻力的数学摆的振动,其微分方程为drmdtI其中/为长度,加为质量,g为重力加速度,且均大于零,设阻力系数“>0.定理3设给定常系数的n次代数方程ci^X1+偽才2+...4-cin_^A,+citl=0其中他>0,作行列式a000。2“-1川-2-3a2/i-40000i4z>0(z>n)则代数方程的一切根均有负实部的充要条件是下列不等式同时成立:aA>0,A2>0,A3>0,…,△门>0,an>0.例2考虑一阶28、非线性微分方程组X2eX+z-+2X--必一力©力血一力广「Is」2Z+y3X+2z2zoXe-z-y+X=例3对三次代数方程/l'+(a+Z?+1)22+b(a+c)/i+2ab(c-1)=0其屮d>0,b>0,e>0,考虑其根均具有负实部时参数c的变化范I韦I.作业:6.2V函数方法6.2.1李雅普诺夫定理
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6、g(t;y)IMJ亿.忖解的延拓与连续性定理如果向量函数g(r,y)在某域G内连续,且关于j满足局部利普希茨条件,则方程组(6.1)的满足初值条件(6.2)的解尸讽/;r(),jo)可以延拓,或者延拓到+oo;或者使点(心夬;r(),jo))任意接近区域G的边界.而解r0,Jo)作为/;/o,Jo的函数在它的存在范围内是连续的.可微性定理如果向量函数g(r,j)及在域G内连续,则方
7、程组(6.1)由初值条件(6.2)确定解曲;%,为)作为/;如旳的函数在它的存在范围内是连续可微的.6.1.2李雅普诺夫稳定性方程组(6.1)的特解y=^t)作变换x=y-(pit)将方程化为dx—=/(r;x)(6.7)dt其中/(/;兀)=g(/;y)—理耳=g(r;兀+e(r))—g(r,e(r))at从而把方程组(6.1)的特解尸讽/)变为方程组(6.7)的零解x=0.定义如果对任意给定的£>0,存在/>0(8一般与£和r0有关),使当任一xo满足
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9、xo
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11、5测力程组(6.7)的由初值条件X(ro)=Xo确定的解兀⑴,对一切t>tQ均有II兀(7)
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13、V£,则称方程
14、组(6.7)的零解x=0为稳定的.如果(6.7)的零解x=0稳定,且存在4)>0使当
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16、xo
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18、<4)时,满足初值条件x(r0)=x0的解x(t)均有lim兀(f)=0则称零解x=0是渐近稳定的.如杲尸0渐近稳定,11存在域D),当J1仅当X()eD)时满足初值条件x(r0)=x()的解x(r)均有limx(r)=0t―则域Do称为(渐近)稳定域或吸引域.若稳定域为全空间,即§=+汽则称零解X=0为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.若零解x=0是不稳定,即:如果对某个给定的£>0不管/>0怎样小,总有一个Xo满足II勺
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20、使由初值条件x(to)=Xo所确定的解x(t)至少存在某
21、个t>to使得
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23、x(t)\=E.6.1.3按线性近似决定稳定性最简单的一阶常系数线性微分方程组dx竺=Ax(6.10)dth其任一解可表示为为c沁广0,1
24、11x11T0
25、,(11X
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27、—>0)定理2若特征方程没有零根或零实部的根,则非线性微分方程组(6.13)的零解的稳定性与其线性近似的方程组(6」0)的零解的稳定性一致.例1考虑有阻力的数学摆的振动,其微分方程为drmdtI其中/为长度,加为质量,g为重力加速度,且均大于零,设阻力系数“>0.定理3设给定常系数的n次代数方程ci^X1+偽才2+...4-cin_^A,+citl=0其中他>0,作行列式a000。2“-1川-2-3a2/i-40000i4z>0(z>n)则代数方程的一切根均有负实部的充要条件是下列不等式同时成立:aA>0,A2>0,A3>0,…,△门>0,an>0.例2考虑一阶
28、非线性微分方程组X2eX+z-+2X--必一力©力血一力广「Is」2Z+y3X+2z2zoXe-z-y+X=例3对三次代数方程/l'+(a+Z?+1)22+b(a+c)/i+2ab(c-1)=0其屮d>0,b>0,e>0,考虑其根均具有负实部时参数c的变化范I韦I.作业:6.2V函数方法6.2.1李雅普诺夫定理
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