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1、第六章非线性规划概述一、问题提出生产管理中很多问题的运行过程都是以非线性形式运行的，如生产成本往往是生产量的非线性函数，产品的需求量是其价格的非线性函数等等。这样，我们在建立一个决策问题的数学模型时，目标函数或者约束条件常常会出现非线性形式。当一个规划问题的目标函数或约束条件中至少一个表现为非线性函数，该问题就称为非线性规划问题。通常情况下，非线性规划的求解工作非常困难，到目前为止，也没有一个求解所有形式非线性规划问题的通用方法。但随着计算机技术的迅速发展，非线性规划理论和方法也得到了越来越广泛的
2、应用。第一节非线性规划问题及其数学模型一、问题提出例6.1某工厂的甲乙两个分厂位于河流的同一侧（如图6-1），到河岸的垂直距离分别为a和b，两垂足A、B间的距离为d，问如何选择码头地址C，才能使得连接两个分厂与码头的铁路专用线里程最短？甲乙baBAdC图6-1第一节非线性规划问题及其数学模型设码头所在地C距A点位x1公里，距B点位x2公里。问题可表述为：称之为上述问题的数学模型，显然模型中目标函数为非线性函数。例6.2某公司计划生产两种类型的旅行包，即标准包和高档包。生产过程为：切割并印染原材料、
3、缝合、成型、检查和包装。生产标准包和高档包在各过程中的单位用时以及各过程的总用时等数据如表6-1所示。单位用时产品过程标准包高档包总时间(h)切割并印染缝合成型检查和包装7/101/211/1015/62/31/4630600700135根据市场调查，这种两种旅行包的需求量是市场价格的函数，具体的关系如下：x1=2250-15p1x2=1500-5p2其中，x1和x2分别为标准包和高档包的需求量，p1和p2分别为标准包和高档包的市场价格。此外，生产标准包和高档包的单位成本分别是70元/个和150元
4、/个，问公司应该如何安排生产使获得的利润最大？显然，问题的目标是使公司利润最大，依题意，问题的利润可描述如下：f=p1×x1+p2×x2－70x1－150x2=(150－x1/15)x1+(300－x2/5)x2=80x1－(1/15)x12+150x2－(1/5)x22考虑各个过程的时间限制，得到该问题的数学模型如下：maxf=80x1－(1/15)x12+150x2－(1/5)x22s.t.(7/10)x1+x2<=630(1/2)x1+(5/6)x2<=600x1+(2/3)x2<=700(
5、1/10)x1+(1/4)x2<=135x1、x2≥0第一节非线性规划问题及其数学模型二、非线性规划模型的一般形式minf(X)s.t.hi(X)=0i=1,2,…,m;gj(X)≥0j=1,2,…,l其中，X=(x1，x2，…，xn)T是n维欧式空间En中的向量（点）；f(X)为目标函数，hi(X)=0(i=1,2,…,m)，gj(X)≥0(j=1,2,…,l)为约束条件。对于极大化目标函数的非线性规划问题gj(X)≤0等价与－gj(X)≥0，hi(X)=0等价于hi(X)≥0和－hi(X)≥0
6、，因此，非线性规划问题的一般形式也可简化成如下形式。minf(X)s.t.gi(X)≥0i=1,2,…,l;对于上述非线性规划，称满足所有约束条件的点为可行点，全体可行点组成的集合R称为可行域，即R={X
7、gi(X)≥0i=1,2,…,l}若存在X*=(x1*，x2*，…，xn*)T∈R使f(X)最小，则称X*为该非线性规划的最优解，f(X*)为最优值。三、非线性规划的图解与线性规划问题一样，对于二维的非线性规划问题，也可以通过图解的方法得到其最优解。例6.3图示下列非线性规划的最优解Minf(X
8、)=(x1-3)2+(x2-3)2s.t.x1+x2≤3x1≤2x2≤2x1≥0x2≥0图6-2x2x1BOAD4.50.5在上述非线性规划问题中，若f(X)=(x1-1)2+(x2-1)2，则问题的最优解为(1，1)T，该点在可行域的内部。第二节非线性规划问题解的性质一、局部最优解与全局最优解1.可行域与最优解满足所有约束条件的点称为可行点，全体可行点的集合R称为可行域，即R={X
9、gi(X)≥0i=1,2,…,l}若存在X*=(x1*,x2*,…,xn*)T∈R使f(X)最小，则称X*为最优解
10、，f(X*)为最优值2.梯度——对于是函数f(X)=f(x1,x2,…,xn)，称下式为f(X)=在X(1)处的梯度例求f(X)=2x12-8x1+2x22-4x2的梯度及海森矩阵3.海森矩阵4.δ的邻域——n维空间中到某点X0的距离小于某个正数δ的所有点的集合，叫做X0的一个δ的邻域，记为：N(X0，δ)={X
11、
12、
13、X－X0
14、
15、<δ}5.局部最优解——对于非线性规划minf=f(X)，gi(X)≥0（i=1,2,…,l;），设X0∈R(R为非线性规划问题的可行域)，如果存在δ>0
