非线性微分方程.doc

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1、第六章非线性微分方程教学目的：使学生重点掌握二维自治系统奇点的分类及其附近的轨线分布；理解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov第二方法讨论自治系统的解的稳定性；了解周期解和极限环的概念．教学内容：1、存在唯一性定理、稳定性2、相平面相平面、奇点分类、按线性近似决定微分方程组的稳定性．3、Liapunov第二方法Liapunov第二方法．4、极限圈周期解、极限环．教学重难点：奇点的分类与相应零解的稳定性教学过程：§6.1稳定性6.1.1常微分方程组的存在唯一性定理本章讨论非线性常微分方程组（6.1）的解的性态.设给定方程组（6

2、.1）的初值条件为，（6.2）考虑包含点的某区域.在这里的范数定义为.所谓在域上关于满足局部利普希茨条件是指：对于内任一点，存在闭邻域，而于上关于满足利普希茨条件，即存在常数，使得不等式（6.3）对所有成立.称为利普希茨常数.存在唯一性定理如果向量函数在域上连续，且关于满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解，它在区间上连续，而且这里.解的延拓与连续定理如果向量函数在域内连续，且关于满足局部利普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初值条件（6.2）的解可以延拓，或者延拓到（或）；或者使点任意接近区域的边界.而解作为的函数在它的存在范围内是连续的.可微性定理如果向

3、量函数及在域内连续，那么方程组（6.1）由初值条件（6.2）确定的解作为的函数，在它的存在范围内是连续可微的.6.1.1李雅普诺夫稳定性考虑一阶非线性方程（6.4）其中为常数且，初值条件为.为研究方程组（6.1）的特解邻近的解的性态，通常先利用变换（6.6）把方程组（6.1）化为，（6.7）其中.此时显然有（6.8）而把方程组（6.1）的特解变为方程组（6.7）的零解.于是，问题就化为讨论方程组（6.7）的零解邻近的解的性态.驻定微分方程常用的特解是常数解，即方程右端函数等于零时的解，如方程（6.4）的特解.微分方程的常数解，又称为驻定解或平衡解.考虑微分方程组（6

4、.7），假设其右端函数满足条件（6.8）且在包含原点的域内有连续的偏导数，从而满足解的存在唯一性、延拓、连续性和可微性定理的条件.定义1如果对任意给定的，存在，使当任一满足时，方程组（6.7）的由初值条件确定的解，对一切均有.则称方程组（6.7）的零解为稳定的.如果（6.7）的零解稳定，且存在这样的使当时，满足初值条件的解均有，则称方程组（6.7）的零解为渐近稳定的.如果零解渐近稳定，且存在域，当且仅当时满足初值条件的解均有，则域称为（渐近）稳定或吸引域.若稳定域为全空间，即，则称零解为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.当零解不是稳定时，称它是不稳定的.即是说：如果对

5、某个给定的不管怎样小，总有一个满足，使由初值条件所确定的解，至少存在某个使得，则称方程组（6.7）的零解为不稳定的.二维情形零解的稳定性态，在平面上的示意图如图（6.2）（见254页）6.1.3按线性近似决定稳定性考虑一阶常系数线性微分方程组（6.10）由第五章5.3的（5.52）式可知，它的任一解均可由（6.11）的线性组合，这里为方程组（6.10）的系数矩阵的特征方程（6.12）的根，为零或正整数，由根的重数决定.根据（6.11），与第五章相对应的可得如下结论.定理1若特征方程（6.12）的根均具有负实部，则方程组（6.10）的零解是渐近稳定的；若特征方程（6.

6、12）具有正实部的根，则方程组（6.10）的零解是不稳定的；若特征方程（6.12）没有正实部的根，但有零根或具有零实部的根，则方程组（6.10）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具有零实部的根其重数是否等于1而定.考虑非线性方程组，（6.13）其中，且满足条件（当时）.（6.14）显然是方程组（6.13）的解.亦是方程组的奇点.问题在什么条件下，（6.13）的零解稳定性能由线性微分方程组（6.10）的零解的稳定性来决定.这便是所谓按线性近似决定稳定性的问题.定理2若特征方程（6.12）没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态

7、与其线性近似的方程组（6.10）的零解的稳定性态一致.这就是说，当特征方程（6.12）的根均具有负实部时，方程组（6.13）的零解是渐近稳定的，而当特征方程（6.12）具有正实部的根时，其零解是不稳定的.（6.2中再补充证明）该定理说明非线性微分方程组（6.13）的零解是否为渐近稳定的取决于其相应的特征方程（6.12）的全部的根是否具有负实部.临界情形至于特征方程（6.12）除有负实部的根外还有零根或具零实部的根的情形，非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态并不能由线性近似方程组（6.10）来决定.因为可以找到这样的例子，适当变动（条件（6.14）仍满足）