一阶线性微分方程.doc

一阶线性微分方程.doc

ID:61499213

大小:179.00 KB

页数:6页

时间:2021-02-07

一阶线性微分方程.doc_第1页
一阶线性微分方程.doc_第2页
一阶线性微分方程.doc_第3页
一阶线性微分方程.doc_第4页
一阶线性微分方程.doc_第5页
资源描述:

《一阶线性微分方程.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库

1、§12.4一阶线性微分方程一、线性方程线性方程:方程叫做一阶线性微分方程.如果Q(x)º0,则方程称为齐次线性方程,否则方程称为非齐次线性方程.方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程.下列方程各是什么类型方程?(1)Þ是齐次线性方程.(2)3x2+5x-5y¢=0Þy¢=3x2+5x,是非齐次线性方程.(3)y¢+ycosx=e-sinx,是非齐次线性方程.(4),不是线性方程.(5)Þ或,不是线性方程.齐次线性方程的解法:齐次线性方程是变量可分离方程.分离变量后得,两边积分,得,或,这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数).例1求方程的通解.解这是齐次线性方程,分离变量得,两边

2、积分得ln

3、y

4、=ln

5、x-2

6、+lnC,方程的通解为y=C(x-2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x),把设想成非齐次线性方程的通解.代入非齐次线性方程求得,化简得,,于是非齐次线性方程的通解为,或.非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例2求方程的通解.解这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程的通解.分离变量得,两边积分得lny=2ln(x+1)+lnC,齐次线性方程的通解为y=C(x+1)2.用常数变易法.把C换成u,即令y=u×(x+1)2,代入所给非齐次线性方程,得,两边积分,得.再把上式代入y

7、=u(x+1)2中,即得所求方程的通解为.解:这里,.因为,,,所以通解为.例3有一个电路如图所示,其中电源电动势为E=Emsinwt(Em、w都是常数),电阻R和电感L都是常量.求电流i(t).解由电学知道,当电流变化时,L上有感应电动势.由回路电压定律得出,即.把E=Emsinwt代入上式,得.初始条件为i

8、t=0=0.方程为非齐次线性方程,其中,.由通解公式,得.其中C为任意常数.将初始条件i

9、t=0=0代入通解,得,因此,所求函数i(t)为.二、伯努利方程伯努利方程:方程(n¹0,1)叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程?(1),是伯努利方程.(2),Þ,是伯努利方程.(3),Þ,

10、是伯努利方程.(4),是线性方程,不是伯努利方程.伯努利方程的解法:以yn除方程的两边,得令z=y1-n,得线性方程.例4求方程的通解.解以y2除方程的两端,得,即,令z=y-1,则上述方程成为.这是一个线性方程,它的通解为.以y-1代z,得所求方程的通解为.经过变量代换,某些方程可以化为变量可分离的方程,或化为已知其求解方法的方程.例5解方程.解若把所给方程变形为,即为一阶线性方程,则按一阶线性方程的解法可求得通解.但这里用变量代换来解所给方程.令x+y=u,则原方程化为,即.分离变量,得,两端积分得u-ln

11、u+1

12、=x-ln

13、C

14、.以u=x+y代入上式,得y-ln

15、x+y+1

16、=-ln

17、

18、C

19、,或x=Cey-y-1.

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。