一阶线性微分方程 2

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1、第四节一阶线性微分方程一、线性方程和未知函数的导数都是一次的.方程中未知这类方程称为一阶线性微分方程.上述方程的特点是:函数一阶线性微分方程的标准形式非齐次的.齐次的;其中是x的已知函数.一阶齐次线性微分方程:基本思想:化为的形式.补例1求方程解的通解.基本思想:化为的形式.方程左边设法凑成一个导数所以所求方程的通解为补例2的通解.求方程解方程两边同乘以化为上例.得一般的,对于方程也可考虑方程两边同乘以一个函数(待定),设法使方程左边凑成一个导数.欲化为非齐次只需求出从而代入上式即可得通解.上式与比较,得欲化为现在来求即非齐次即分

2、离变量得求一阶非齐次线性微分方程的通解公式(2)将求出的因子代入通解为一阶非齐次线性方程(1)的通解公式对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次因子例1求方程解的通解.方程两边同乘以得解通解为方程两端取不定积分,得例1求方程法二:先求故的通解.所求方程的通解为补例3的通解.求方程解先把方程化为标准形式与上例类似.补例4求方程解的通解.方程两边同乘以得解所求方程的通解为方程两端取不定积分,得补例4求方程的通解.补例5求方程解的通解.上式关于因变量y并非线性微分方程但即把x作为因变量是一阶线性微分方程.解上方程两边同乘以y,得所求方程的通

3、解为方程两端取不定积分,得练习:的通解.求方程解方程左边设法凑成一个导数所以所求方程的通解为利用变量代换(因变量的变量代换或自变量的变量代换),把一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已经知其求解步骤的方程,这是解微分方程最常用的方法.下面再举一个例子.例4解方程解把原方程变形为即为一阶线性方程得故原方程的通解为例4解方程法二:作变量代换两端对x求导,得代入原方程,得则由分离变量,得两端分别积分,有得得由把代入上式,即得故原方程的通解为亦即