抛物线及其标准方程教案(理科)

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1、.抛物线及其标准方程教案（理科）适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域通用课时时长（分钟）60知识点抛物线的定义、抛物线的标准方程及相关运算教学目标1．理解抛物线定义及其限制条件；理解抛物线标准方程的推导；理解抛物线标准方程中p的意义；2．掌握抛物线定义；掌握求抛物线标准方程的方法；3．培养应用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力．教学重点抛物线的定义、抛物线的标准方程、坐标化的基本思想教学难点抛物线标准方程的推导与化简，坐标法的应用...教学过程一、课堂导入在初中，我们学习了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物

2、线，例如：（1），（2）的图象（如下图）：那么，什么样的曲线是抛物线，它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。...二、复习预习我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？把一根直尺固定在图板上直线l的位置(如下图)．把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一

3、点F．用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线．从图中可以看出，这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等．把图板绕点F旋转90°，曲线就是初中见过的抛物线．...平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．...三、知识讲解抛物线的标准方程及准线方程下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．如下图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段K

4、F的中点重合．设，那么焦点F的坐标为，准线方程是.设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合P={M

5、

6、MF

7、=d}．....将上式两边平方并化简，得①方程①叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是，它的准线方程是.一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：,，，．这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：...图形标准方程焦点坐标准线方程...对表格的说明：方便学生掌握（统观四种情况）（

8、1）表示焦点F到准线的距离；（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是x，则对称轴为x轴，焦点在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（对称轴看一次项）（3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向）...四、例题精析例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程....【规范解答】解：（1）因为，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为（2）因为抛物线的焦点在y

9、轴上，所以抛物线方程为．【总结与反思】（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出p的值得到焦点坐标和准线方程。（2）先判定出焦点在y轴上，从而得到一次项为y，再求出p的值进而写出方程....例2指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）（2）...【规范解答】解:（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，①当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是，准线方程是：．②当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是，准线方程是：．综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．【总结与反思】（1）先根据

10、抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．...例3若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．...【规范解答】解法一：设、，则由：可得：．∵直线与抛物线相交，且，则．∵AB中点横坐标为：，解得：或（舍去）．故所求直线方程为：．解法二：设、，则有．两式作差解：，即．，故或（舍去）．则所求直线方程为：．【总结与反思】由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及

11、弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．...例4求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．...【规范解答】证明：（如下图）作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：在直角梯形中：，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．【反思与总结】类似有：以椭圆焦点弦为直径的