中华民国第四十四届中小学科学展览会40924

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1、中華民國第四十四屆中小學科學展覽會作者說明書高中組數學科040415國立武陵高級中學指導老師姓名陳銘欽作者姓名楊淵堡徐豐國陳勁達中華民國第四十四屆中小學科學展覽會作品說明書科別：數學科組別：高中組作品名稱：尋根之旅關鍵詞：高斯平面、複數函數編號：尋根之旅壹、研究動機：2函數圖形是以笛卡兒座標系表示，如f(xx)=。圖中可得f(x)與x的關係。如x=0時fx()=0、x=1時fx()=1…等，它們在座標上都有對應點表示(x,fx())的關係。若fx()=−1則x為何？可算出x=±i。但如何表示呢（圖I-1）？貳、研究目的：繪製函數在

2、笛卡兒－高斯座標系上之圖形，將其定義域在高斯平面上的圖形深入探討，釐清各函數關係，研究其特性。參、研究過程：若在垂直xy平面方向加一條x的虛軸，使座標在x∈C時有(x,fx())的對應點，問題便解決了（圖I-2）！而對應點之座標為(Re(x),fx(),Im(x))經觀察，座標系中xz平面為一高斯平面，再參考雙變數函數以zfxy=(),方法呈現後，將座標修正為()Re(x),Im(xfx),()若以極座標表示，則座標可寫成：()x,,Argx()fx()，柱座標因這笛卡兒座標系中含有一高斯平面，故稱之為笛卡兒－高斯座標系(以下簡稱

3、笛－高座標)，但此座標有一缺陷：無法呈現f(xR)∉之情形。因為若以幾何的方式呈現複數函數，需四維座標，但無法在三維世界中表示。由於希望將所有與給定f(x)對應之x表示（而非將所2有與給定之x對應f()x表示，例如表示出f(xx)=中fx()=−1、fx()=−2…對應的x（函數等於某值時的根），而非表示x=+1i、x=12+i…對應之f(x)），故犧牲f()x虛部的維度而限制其為實數。若有一變數x使得f(xR)∉，則該x不在函數的定義域內（在實數函數中的類似地有：設fx()=+x3，則xy平面無法顯示f(−4)的對應點，x=−4

4、也不在該函數定義域中）。由於常以Z來表示複數，故在這邊給座標下的定義如下：()Re()Z,Im(ZfZ)(),直角座標及(Z,,ArgZ()fZ())柱座標其中Z∈CfZR,()∈照這樣定義後，xy平面在此座標系中等價於高斯平面。針對不同的函數討論時，將Z以a+bi代入，a、bR∈，由於限制f()ZR∈，故代入後可得下列聯立式：1⎧⎪f(Zf)=Re((Z))⎨⎪⎩0I=m()fZ()由於a、b分別為Re()Z、Im()Z，故可令R(ab,R)=e(fZ())及Dab(),I=m()fZ()。由其在xyz座標系中的定義，令ax=、

5、by=、f(Zz)=，便可得出笛－高座標與xyz座標系的關係。將f()Z之圖形在xyz座標系中寫出：⎧⎪zRxy=(,)⎨，D為定義域(domain)之意，R為定義域(range)之意⎪⎩0,=Dxy()單看其第二式Dxy(),0=，為一垂直xy平面之柱面方程式，而其與xy平面之交線在笛－高座標中即為f()Z之定義域（因xy平面在此座標系中等價於高斯平面）。因此若將其參數式代回第一式，可求出f()Z的圖形在xyz座標系中之參數式。在往後的研究中，會以此法將笛－高座標轉換成xyz座標系再研究。接著我們將討論不同的函數：一、多項函數：

6、（一）若f()x為實係數多項函數，則我們對其原來實變數的圖形進行分類，再將分類後導出的通式中變數x換為Z=+abi代入，即可依上述之步驟對f(Z)之圖形進行探討。分類過程如下1、依f()x之導函數f′()x為之根來出步分類(如實根、虛根、重根個數)。2、求出f()Z之二階導函數，並與導函數聯合運用求出曲線之頂點和反曲點。3、由導函數積分得原函數之通式，並試寫出較美觀之標準式。4、分類完成後，將原實變數x以a+bi代入，求出上述聯立式並轉換成xyz座標系。5、求出其在xyz座標系的參數式。＜二次實係數多項函數＞2通式為：f()xrx

7、=−+()αc⎧=−−+22⎪zrx(()αyc)⇒⎨⎪⎩02=−()xyα該函數之定義域在高斯平面上的圖形為兩相互垂直的直線，而在xy平面上之參數式為()ts+αα,0∪(,)，tsR,∈代入後求得其空間參數式：()22()tr++αα,0,tc∪,,s−rs+c，tsR,∈2＜三次實係數多項函數＞推演後，據其導函數的根分成：PR.3.1兩相異實根PR.3.2兩重實根PR.3.3一對共軛虛根三種形式限於篇幅，我們分類僅列出結果：PR.3.1兩相異實根32設此兩根為α、β⇒=−f()xrx⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟αβ+−+−3⎛⎜αβ⎞⎟

8、⎛⎞⎜⎟x−αβ+c⎜⎟⎝⎠⎝⎠222⎝⎠⎝⎠PR.3.2兩重實根3設其根為α⇒=−−−+f()xrx((αα)3(x))cPR.3.3一對共軛虛根32設該對共軛虛根為ABi±⇒=−+−+f()xrxABxAc(()3())現將其放入笛－高座標系中