中华民国第四十四届中小学科学展览会40914

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1、中華民國第四十四屆中小學科學展覽會作者說明書高中組數學科040413國立臺南第一高級中學指導老師姓名巫權祐作者姓名康竣閔王宇廷蔡孟修郭育仁中華民國第四十四屆中小學科學展覽會作品說明書科別：數學科組別：高中組作品名稱：曲率的奧秘關鍵詞：曲率、密切圓編號：1中文摘要：本次研究的主題為曲率，且以高中所學的函數為主。雖然大學已有曲率公式，但我們將其表示成高中生較易了解的型式，並且以f(x)的方式呈現。我們在函數曲線上取不共線三點，構成一個三角形，並求出此三角形的外接圓半徑。再將所取三點逼近，所求之半徑即為特定點的密切圓，也就是曲率半徑。而此曲率半徑的倒數，就是所

2、求的曲率，同時我們將公式帶入高中各常見函數，以導出函數上各點曲率。一、研究動機在一堂與平面運動有關的物理課中，我們接觸到一個陌生的名詞─曲率半徑。對於這個不論在數學或物理界，都佔有一席之地的嶄新名詞，我們心中充滿好奇。於是乎，我們開始尋找與此有關的資料。正常來說，曲率半徑須等到大學後，才有較詳細的解說、更深入的探討與應用。在大學的公式中，曲率的公式是由三維空間降階至二維空間所推展而成的。但是，我們希望藉由座標推出曲線的曲率。我們不但希望將其研究透徹，更希望能利用高中程度的數學推出公式，使曲率半徑更容易被同學們接受與理解。二、研究目的2(1)了解密切圓及曲

3、率的意義(2)利用極限求曲率半徑(3)將曲率半徑表為f(x)形式(4)求出高中常用函數之曲率一般解三、研究原理密切圓：曲線上任一點切線所對應的圓即為此點的密切圓。求法是在曲線上取一點(a,f(a))，接著在兩邊分別取(a-t,f(a-t))及(a+t,f(a+t))，此三點若不共線，則成一三abc角形。利用R=求出三點外接圓半徑，然後將結4∆果對t縮小(即t→0使(a-t,f(a-t))及(a+t,f(a+t))向(a,f(a))逼近，最後幾近同點)，所得R即(a,f(a))之密切圓半徑‧1曲率：以密切圓半徑之倒數為此點的曲率，因為一點附近R的彎曲率越大

4、，其密切圓半徑越小‧直線的曲率半徑為∞，故曲率為零‧3GSP作圖：利用GSP找出所需要的曲線圖形，並在其上觀察密切圓的變化趨勢。(一).二次曲線2yx=+x+110109988776655443322KJIL11KJI-8-6-4-22468-8-6-4-22468-1-1-2-2x⎛1⎞(二).指數函數y=⎜⎟⎝⎠212121010886644EDC22EDC-10-5510-10-5510-2-2(三).正弦函數y=sinx202018181616141412C11210108866D442C12DBAC-20-15-10-55101520-20-1

5、5-10-5BAC5101520-2-2-4-4-6-64(四).正切函數y=tanxC110108866C14422BACBAC-10-5510-15-10-55-2-2-4-4四、研究步驟(1)一曲線上任取一點(a,f(a))及其周圍兩點(a-t,f(a-t))，abc(a+t,f(a+t))，若不共線則成三角形。其外接圓半徑可表為R=4∆(2)導出的公式中使t→0，求出(a,f(a))點之密切圓半徑R(a)1以此求出曲率κ=之表示式R(3)藉此求出各函數曲率通式五、研究結果abc(1)曲率公式：我們由R=導出4∆[]()()2[]()2[]()()

6、2[]()2[]()()2[]()()2fa−fa−t+a−a−t×fa+t−fa+a+t−a×fa+t−fa−t+a+t−a−tR(t)=af(a)114×a−tf(a−t)12a+tf(a+t)1[]()()22[()()]22[()()]22fa−fa−t+t×fa+t−fa+t×fa+t−fa−t+4t=2t[]f()a+t−f(a)+[]f()a−t−f(a)5222⎡⎤fa()−−fa(t)⎡f()a+t−fa()⎤⎡fa()+t−f(a−t)⎤⎢⎥+×11⎢⎥+×⎢⎥+4⎣⎦tt⎣⎦⎣t⎦=fa()+−tf(a)f()a−t−fa()4+2

7、2tt222⎡⎤fa()−fa(−t)⎡f()a+−tfa()⎤⎡fa()+−tf(a−t)⎤⎢⎥+×11⎢⎥+×⎢⎥+4⎣⎦tt⎣⎦⎣t⎦=fa()++tf(a−t)−2fa()22t22⎡⎤fa()−+fa(t)⎡f()a−t−f(a)⎤2而lim⎢⎥+1=1+lim=1+[]f′()at→0⎣⎦t⎢⎣t→0−t⎥⎦22⎡⎤fa()+−tf(a)⎡f()a+t−f(a)⎤2lim⎢⎥+1=1+lim=1+[]f′()at→0⎣⎦t⎢⎣t→0t⎥⎦22⎡⎤fa()+−tf(a−t)⎧⎡f()a+t−f(a)f()a−t−f(a)⎤⎫lim⎢⎥+4=4+

8、⎨lim⎢+⎥⎬t→0⎣⎦t⎩t→0⎣t−t⎦⎭22=4+[]f′()a+f′(