中华民国第四十四届中小学科学展览会41265

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1、中華民國第四十四屆中小學科學展覽會作者說明書高中組數學科040414國立臺南女子高級中學指導老師姓名洪士薰廖婉雅作者姓名林柏含王語萱郭書寒一、摘要1.將cosnθ以cosθ形式依高次降羃排列展開，觀察各項係數，找尋其變化規律，進一步求得各項係數的一般項公式。2.將sinnθ以sinθ形式依低次升羃排列展開，觀察各項係數之變化規律，進一步求得各項係數的一般項公式。3.找出cosnθ與cos(n-1)θ，cos(n+1)θ之間的關係式。4.找出sinnθ與sin(n-1)θ，sin(n+1)θ之間的關係式。5.利用cosnq的係數間的遞迴關係，

2、找出其相對應的特徵方程式。二、研究動機在高中數學中，我們學過了sinθ及cosθ的半角、二倍角、及三倍角的公式,不禁讓我們納悶—為什麼沒有介紹四倍、五倍、六倍….等的n倍角公式呢??我們決定來探討這個問題，看看是否能推導出sinθ及cosθ的n倍角公式。三、研究目的找出cosnθ與sinnθ各項係數之間的關係,並推導出sinθ及cosθ的n倍角公式。四、研究器材計算機、電腦1五、研究過程壹、cosnqvscosq及sinnqvssinq的數據表一、將cosnq以cosq的形式降羃排列展開：cosq=cosq2cos2q=2cosq-13co

3、s3q=4cosq-3cosq42cos4q=8cosq-8cosq+153cos5q=16cosq-20cosq+5cosq642cos6q=32cosq-48cosq+18cosq-1(1.1)753cos7q=64cosq-112cosq+56cosq-7cosq8642cos8q=128cosq-256cosq+160cosq-32cosq+19753cos9q=256cosq-576cosq+432cosq-120cosq+9cosq108642cos10q=512cosq-1280cosq+1120cosq-400cosq+50

4、cosq-1119753cos11q=1024cosq-2816cosq+2816cosq-1232cosq+220cosq-11cosq12108642cos12q=2048cosq-6144cosq+6912cosq-3584cosq+840cosq-72cosq+1M令f(x)=x12f(x)=2x-123f(x)=4x-3x342f(x)=8x-8x+1453f(x)=16x-20x+5x5M得cosq=f(cosq)1cos2q=f(cosq)2cos3q=f(cosq)3cos4q=f4(cosq)cos5q=f(cosq)5我

5、們希望找到多項式f(x)，使得cosnq=f(cosq)nn2二、將sinnq以sinq形式降羃排列展開我們發現，必須將n分成二類:奇數或偶數(一)n=2k-1(kÎN)：可將sinnq完全以sinq的形式降羃排列展開sinq=sinq3sin3q=-4sinq+3sinq53sin5q=16sinq-20sinq+5sinq753sin7q=-64sinq+112sinq-56sinq+7sinq(1.2)9753sin9q=256sinq-576sinq+432sinq-120sinq+9sinq119753sin11q=-1024si

6、nq+2816sinq-2816sinq+1232sinq-220sinq+11sinq令g(x)=x1()3gx=-4x+3x353g()x=16x-20x+5x5753g()x=-64x+112x-56x+7x79753g()x=256x-576x+432x-120x+9x9119753g()x=-1024x+2816x-2816x+1232x-220x+11x11得sinq=g(sinq)1sin3q=g(sinq)3sin5q=g(sinq)5sin7q=g(sinq)7M我們希望找到多項式g(x)，使得sinnq=g(sinq)(

7、n是奇數)nn(二)n=2k(kÎN)：只能將sinnq同時以sinq與cosq的形式展開令sinnq=y,cosq=x則sin2q=x(2y)3sin4q=x(4y-8y)35sin6q=x(6y-32y+32y)357sin8q=x(8y-80y+192y-128y)3579sin10q=x(10y-160y+672y-1024y+512y)357911sin12q=x(12y-280y+1792y-4608y+5120y-2048y)35791113sin14q=x(14y-448y+4032y-15360y+28160y-24576

8、y+8192y)M由上列各式，我們希望找到多項式qn(x)，使得sinnq=cosq×qn(sinq)3貳、cosnq及sinnq的遞迴關係本節的主要推論是定理2.1及定理2.3