行列式习题课-线性代数

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1、行列式的计算1.二、三阶行列式的计算对二、三阶行列式，可使用行列式的展开式（即对角线法则）直接计算：aa1112=aa-aa,11221221aa2122aaa111213aaa+aaa+aaa112233122331132132aaa=212223-aaa-aaa-aaa.132231112332122133aaa313233也可以利用行列式的性质进行计算.2.n阶行列式的典型计算方法（n³4）(1)利用性质将行列式化为三角形行列式或降阶后计算011a101b例3.求D=.4110cabcd011a11a101bDr3-r2cb解4r4-

2、ar2按c1展开-1-1-01-1c-bbc-ad-ab0bc-ad-ab11a-2c-a-br2-r1,r3-br1-0-2c-a-b按c1展开-c-a-bd-2ab0c-a-bd-2ab2222=2(d-2ab)+(c-a-b)=a+b+c-2ab-2ac-2bc+2d.注：一边化简行列式，一边将行列式按行或列展开将行列式降阶，这种方法有助于计算行列式.abbbbabb例4.求D=.nbbba解a+(n-1)ba+(n-1)ba+(n-1)ba+(n-1)bbabbDnr1+r2++rnbbba1111b

3、abb=[a+(n-1)b]bbba11110a-b00n-1ri-br1,i=2~n[a+(n-1)b]=[a+(n-1)b](a-b).000a-b这一行列式的特点是只有两个数，主对角线上的元素全为a,其他位置上的数全为b，根据这一特点，将第2至第n行(列)都加到第1行(列)上去，从而第1行(列)变成相同的数，进一步将该行列式化为三角形行列式求出其值.对于这类题目，用这种方法是最简便的.1+aaaa12n-1na1+aaa12n-1n例5求D=.naa1+aa12n-1naaa1+a12n-1n

4、解I此题可仿照例4，将第2列至第n列都加到第1列上去做.（略）解II1+aaaa1+a++aaaa12n-1n1n2n-1n-11000100Dnrn-rn-1,,r2-r1c1+c2++cn0010001000-1100-111000-1100按c1展开（1＋a1++an）=1+a++a.1n001000-11xaaabxaa例6求D=bbxa.nbbbxn-1解若a=b，由例4知D=[x+(n-1)a](x-a)；若a¹b，则有n(x-a)+a0+a0+a0+a

5、bxaaD=bbxanbbbxx-a000111bxaabxa=bbxa+abbxbbbx1110x-ba-b=(x-a)D+an-1n-1=(x-a)Dn-1+a(x-b).00x-bn-1由a，b的对称性，知D=(x-b)D+b(x-a).nn-1n-1ìïDn=(x-a)Dn-1+a(x-b),解ín-1ïîD=(x-b)D+b(x-a),nn-1nna(x-b)-b(x-a)则D=，(a¹b).na-bxyxy例7求D=.(未写出的为0)nxyyx解将D按第1列展开，则nxy

6、yxyxyn+1nn+1nnnDn=x+(-1)y=x+(-1)y=x-(-y)xyxyx注：此题也可按第n行展开计算.在行列式的计算中，这是一类比较典型的题目.(2)利用递推关系计算ababab例8求D=.(未写出的为0)2ncdcdcd解将D按第1行展开，则2nab00ababab2n+1D=acd+(-1)bcd2ncdcd0dc0第1个按r2n-1展开，第2个按c1展开adD2n-2-bcD2n-2=(ad-bc)D2n-2.由此递推式及D=ad-bc，得2nD=(ad-bc).2n完全类似地可以计算

7、abnnabn-1n-1abn11D2n==Õ(aidi-bici).cd11i=1（未写出的元素为0）cdn-1n-1cdnna+ba000ba+ba000ba+b00例9求D=.n000a+ba000ba+bba0000a+ba00解Dn按r1展开(a+b)Dn-1-a000a+ba000ba+b第2个按c1展开(a+b)Dn-1-abDn-2.即有递推式D=(a+b)D-abD.nn-1n-2由此得D-aD=b(D-aD),nn-1n-1n-2或D-bD=a(D-bD).nn-1n-1n-

8、222由于D=a+b，D=a+b+ab，12故有n-2nD-aD=b(D-aD)==b(D-aD)=b,nn-1n-1n-221n-2nD-bD=a(D-bD)==a(D-b