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1、经济数学基础线性代数主讲教师:王斌开课院系:重庆工商大学理学院E--mail:wb@ctbu.edu.cn第一章行列式n阶行列式行列式的性质行列式的行(列)展开Cramer法则难点:行列式的展开、Cramer法则重点:行列式的性质、行列式的展开（计算）§1.1n阶行列式一、行列式的引入两式相减消去,得当时,方程组的解为类似地消去,得称为二阶行列式,记为定义1由四个数排成的数表所确定的表达式则二元线性方程组的解为若记即主对角线法则例1解二元线性方程组解:定义2由三行三列的数表所确定的表达式称为三阶行列式,记注
2、意:1)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。如果三元线性方程组系数行列式2)三阶行列式包括3!项,且每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积,其中正负各三项。则方程组的解为:例2求解方程解:方程左端的行列式,由对角线法则即,解得例3解线性方程组解:由于方程组的系数行列式同理可得方程组的解为:即二、排列及逆序数定义3将n个不同的元素组成一个有序de序列,称为这n个元素的一个n级排列。n级排列的总数:定义4在n级排列中,规定由小到大为一个标准次序,若两个元素与标准次序不同则构成一个逆序。排列中所有逆序的总数
3、称为此排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。例4求排列32514的逆序数。解:在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;32514排列32514的逆序数5的前面没有比5大的数,其逆序数为0……解:由于当时,原排列为偶排列;当时,原排列为奇排列。例5求排列n(n-1)…321的逆序数,并讨论奇偶性。将相邻两个元素对换,称为相邻对换。定理1任意一个排列中的任意两个元素经过一次对换,排列改变奇偶性。证明:相邻对换任意对换;比较对换元
4、素讨论。定义5在排列中,将任意两个元素位置互换,其余元素位置不变,这种变换称为对换。注意:1)奇排列调成标准排列的对换次数为奇数;2)偶排列调成标准排列的对换次数为偶数;3)标准排列是偶排列(逆序数为0)。三、n阶行列式说明:2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,且每项不重复的取遍所有行和列;3)每项的正负号都取决于三个元素的下标排列。1)三阶行列式共有6项,即项;定义6n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个数的乘积的代数和,即其中为自然数1,2,…n的一个排列,为其逆序数。简记为或。行列式是一
5、种特定的算式:解线性方程组;3)每项都是位于不同行不同列n个元素的乘积;说明:2)n阶行列式是项的代数和;4)一阶行列式,不同于绝对值;5)行标确定:的符号为例6确定下列行列式中的项的符号。解:所以不为零的项只有例7计算上三角行列式解:例8证明对角行列式若记,则依行列式定义证:求的系数。含的项有两项之和,即例9已知解:故的系数为-1。推论1若列标确定,行列式等于定理2n阶行列式也可定义为推论2行列式定义中每一项的乘积元素可按行或列标确定标进行重排:不改变符号。§1.2行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式
6、相等。记行列式称为行列式的转置行列式。证明:记注意:行列式中行与列具有同等的地位,即行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。则即性质2互换行列式的两行(列),行列式的值反号。证明:设互换的i,j行,得即则推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式的值为零。性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以数k,等于用数k乘此行列式。推论1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论2若行列式含有零行(列),则行列式的值为零。性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例,则此行列式的值为零
7、。性质5行列式按某列（行）的元素拆开:性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数,然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。注意:性质6为行列式的简化求值的常用方法。例1计算解:例2计算解:行列式计算方法:1)利用定义;2)利用性质和三角形行列式;3)行列式的展开。例3计算解:此行列式的特征:行和相等。讨论a=0,a=b?将大部分元素化为零例4计算解:此行列式的特征:大部分元素为1。§1.3行列式的展开定义7在n阶行列式中,划去元素所在的第i行和第j列,余下的n–1阶行列式称为元素的余子式,记
8、。称为元素的代数余子式。例1求下列行列式的代数余子式。引理如果行列式第i行所有元素除外都为零,则此行列式等于与其代数余子式的乘积,即注意:行列式的展开方法:利用行列式的性质在某行(列)得到尽可能多的零元:降阶求值。证:定理3n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或例2计算解:评注:“化零”方法:尽量选含有0,1较多的行(列)。例3证明范德蒙德(Vandermonde)行列式证:由数
